重心 Lagrange 插值

形式陈述 ​

输入是两两互异节点 $x_0,\dots ,x_n$、数据 $y_0,\dots ,y_n$ 和查询点 $x$。定义节点多项式

$$\omega (x)=\prod _{k=0}^n(x-x_k)$$

及重心权

$$w_j=\frac{1}{{\displaystyle \prod _{k\ne j}(x_j-x_k)}}.$$

Lagrange 插值多项式可写成第一重心公式

$$p(x)=\omega (x)\sum _{j=0}^n\frac{w_j{y}_j}{x-x_j}.$$

利用对常数函数插值得到 $\sum _j{w}_j/(x-x_j)=1/\omega (x)$，可消去显式乘积，得到通常用于求值的第二重心公式

$$p(x)=\frac{{\displaystyle \sum _{j=0}^n\frac{w_j{y}_j}{x-x_j}}}{{\displaystyle \sum _{j=0}^n\frac{w_j}{x-x_j}}},x\ne x_j.$$

若查询点与某节点精确相等，算法必须直接返回 $y_j$，而不是计算含零分母的商。朴素预计算全部权重耗时 $O(n^2)$、存储 $O(n)$；权重固定后，每个查询点需要 $O(n)$ 次运算和 $O(1)$ 额外空间。它不是迭代算法：处理完全部 $n+1$ 项并完成节点命中检查，就得到了该点的输出，没有另设残差停止准则。

所有权重同时乘非零常数不会改变公式，因此可以整体缩放以控制幅值。等距点和 Chebyshev 点具有封闭或递推权重，应使用专门表达避免形成极大乘积；一般节点若尺度跨度很大，也可通过平移缩放节点、分批构造权重或使用扩展精度降低溢出风险。

直觉 ​

直接 Lagrange 公式为每个基函数重新乘一长串因子，许多大中间量最后才相消。重心形式先把只依赖节点的部分压进权重，再把每次查询变成两个结构相同的加权和；分子和分母共同携带尺度，很多危险的公共因子在商中自动抵消。

这种改写改善的是“给定节点与数据后怎样求值”。它不会改变插值算子本身：若节点集合使数据扰动受到巨大放大，稳定算出那个插值多项式仍可能得到糟糕的函数近似。算法稳定性与节点条件性必须分开评价。

例子与边界 ​

对节点 $(-1,0,1)$，权重可整体缩放为 $(1,-2,1)$。数据 $(1,0,1)$ 对应本页前置中的 $p(x)=x^2$；在任意非节点 $x$，第二重心公式用六个分式项的两个和直接给出同一值，无需先求单项式系数。查询 $x=0$ 时则直接返回中间数据 $0$。

当 $x$ 极接近某个 $x_j$ 时，分子和分母都含大项 $1/(x-x_j)$。精心实现的第二公式通常仍有良好行为，但“接近”不能用一个与数据尺度无关的固定 epsilon 代替精确节点检查，否则会把本应不同的查询点错误吸附到节点上。

高次等距插值提供另一条边界：即使重心求值避免了解 Vandermonde 系统，Lebesgue 常数公理库Lebesgue 常数与插值条件性Lebesgue constant · Interpolation conditioning用插值算子的无穷范数刻画节点集合对采样扰动和最佳逼近误差的放大。仍会快速增长，端点附近的插值可能不收敛。Chebyshev 节点公理库Chebyshev 多项式与节点Chebyshev polynomials and nodes · Chebyshev nodes以余弦表示和端点聚集节点控制区间上一致逼近、插值条件性与高次振荡。通过改变问题的节点几何缓解这一点，而不是换一个代数等价公式便自动解决。

推论与应用 ​

求和顺序仍会影响两个重心和，必要时可结合成对或补偿求和公理库浮点求和：顺序、成对与补偿Floating-point summation · Compensated summation比较顺序、成对和补偿求和的误差传播，并区分准确性、可复现性与并行代价。；但补偿不能修复溢出的权重或病态节点。输入输出、节点尺度和求和策略应在实现说明中同时给出。

特殊余弦节点的权重结构还连接离散余弦变换与快速多项式计算。这里的核心仍是单点或批量求值；如何选择节点、估计函数误差以及构造正交系数分别由节点条件性、余项和谱逼近页面承担。

参考资料

• Jean-Paul Berrut and Lloyd N. Trefethen, “Barycentric Lagrange Interpolation,” SIAM Review 46(3), 2004, pp. 501–517.
• NIST Digital Library of Mathematical Functions, §3.3 Interpolation.
• Nicholas J. Higham, “The Numerical Stability of Barycentric Lagrange Interpolation,” IMA Journal of Numerical Analysis 24(4), 2004.