重心 Lagrange 插值

直接 Lagrange 公式为每个基函数重新乘一长串因子，许多大中间量最后才相消。重心形式先把只依赖节点的部分压进权重，再把每次查询变成两个结构相同的加权和；分子和分母共同携带尺度，很多危险的公共因子在商中自动抵消。

这种改写改善的是“给定节点与数据后怎样求值”。它不会改变插值算子本身：若节点集合使数据扰动受到巨大放大，稳定算出那个插值多项式仍可能得到糟糕的函数近似。算法稳定性与节点条件性必须分开评价。

对节点 $(-1,0,1)$，按乘积定义算得权重 $(1/2,-1,1/2)$，在第二公式中可整体乘二，改用 $(1,-2,1)$。取数据 $(1,0,1)$，其插值多项式为 $p(x)=x^2$。在 $x=1/2$ 处，先计算共同项

分母为 $-16/3$，分子为 $(2/3)\cdot 1-4\cdot 0-2\cdot 1=-4/3$，两者相除得 $1/4$。图中的“节点贡献汇总”正是这两个和：贡献可以为负，并非把数据作普通凸加权平均。查询 $x=0$ 时则直接返回中间数据 $0$，避免出现除零。

当 $x$ 极接近某个 $x_j$ 时，分子和分母都含大项 $1/(x-x_j)$。精心实现的第二公式通常仍有良好行为，但“接近”不能用一个与数据尺度无关的固定 epsilon 代替精确节点检查，否则会把本应不同的查询点错误吸附到节点上。

权重也不能逐个任意缩放。若仍用上述节点与数据，却把权重改成 $(1,1,1)$，则第二公式变为 $2x^2/(3x^2-1)$；它在节点处按极限仍能插值，却在 $x=\pm 1/\sqrt{3}$ 出现极点。这是有理函数，已经不是原来的多项式。公共比例因子可以消去，各权重之间的相对比例则定义了具体问题。

高次等距插值提供另一条边界：即使重心求值避免了解 Vandermonde 系统，Lebesgue 常数理路Lebesgue 常数与插值条件性Lebesgue constant · Interpolation conditioning用插值算子的无穷范数刻画节点集合对采样扰动和最佳逼近误差的放大。仍会快速增长，端点附近的插值可能不收敛。Chebyshev 节点理路Chebyshev 多项式与节点Chebyshev polynomials and nodes · Chebyshev nodes以余弦表示和端点聚集节点控制区间上一致逼近、插值条件性与高次振荡。通过改变问题的节点几何缓解这一点，而不是换一个代数等价公式便自动解决。

求和顺序仍会影响两个重心和，必要时可结合成对或补偿求和理路浮点求和：顺序、成对与补偿Floating-point summation · Compensated summation比较顺序、成对和补偿求和的误差传播，并区分准确性、可复现性与并行代价。；但补偿不能修复溢出的权重或病态节点。输入输出、节点尺度和求和策略应在实现说明中同时给出。

特殊余弦节点的权重结构还连接离散余弦变换与快速多项式计算。这里的核心仍是单点或批量求值；如何选择节点、估计函数误差以及构造正交系数分别由节点条件性、余项和谱逼近页面承担。