Lebesgue 常数与插值条件性

形式陈述 ​

在区间 $[a,b]$ 上固定互异节点 $x_0,\dots ,x_n$，令 ${\ell }_j$ 为相应 Lagrange 基。插值算子

$$I_n:C[a,b]⟶{\mathcal{P}}_n,(I_{n}f)(x)=\sum _{j=0}^{n}f(x_j){\ell }_j(x)$$

是从一致范数空间到次数不超过 $n$ 的多项式空间的线性算子。Lebesgue 函数和 Lebesgue 常数定义为

$${\mathrm{\Lambda }}_n(x)=\sum _{j=0}^n|{\ell }_j(x)|,{\mathrm{\Lambda }}_n=\underset{x\in [a,b]}{max}{\mathrm{\Lambda }}_n(x).$$

在输入、输出都采用无穷范数时，${\mathrm{\Lambda }}_n=\Vert I_n{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$。若节点数据受到扰动 $|\delta y_j|\le \epsilon$，插值结果的变化满足

$$|\delta p(x)|\le {\mathrm{\Lambda }}_n(x)\epsilon ,\Vert \delta p{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le {\mathrm{\Lambda }}_n\epsilon .$$

因此 ${\mathrm{\Lambda }}_n$ 是固定节点插值问题的绝对放大因子，与采用单项式、Newton 或重心公式求值无关。算法还会产生额外舍入误差，但不能改变同一节点集合定义的算子范数。

对任意 $q\in {\mathcal{P}}_n$，利用 $I_{n}q=q$ 可写

$$f-I_{n}f=(f-q)-I_n(f-q).$$

取范数并对 $q$ 取下确界，得到准最优界

$$\Vert f-I_{n}f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le (1+{\mathrm{\Lambda }}_n)\underset{q\in {\mathcal{P}}_n}{inf}\Vert f-q{\Vert }_{\mathrm{\infty }}.$$

右侧同时包含最佳多项式逼近误差和插值算子放大，两项缺一不可。

直觉 ​

Lagrange 基在节点上像一组精确的开关：第 $j$ 个基在 $x_j$ 为 $1$、在其余节点为 $0$。离开节点后，这些基可能出现很大的正负摆动；数据中很小的变化乘上这些摆动后，会在区间某处叠成较大偏差。Lebesgue 函数画出这种局部放大，常数则记录最坏位置。

它是问题条件性公理库问题条件性与条件数Conditioning of a problem · Condition number度量问题真解对输入微扰的局部敏感性，并把这种固有敏感性与算法误差分开。，不是目标函数平滑度，也不是某段求值程序的评分。重心公式公理库重心 Lagrange 插值Barycentric Lagrange interpolation · Barycentric interpolation预计算重心权后以线性成本稳定求值 Lagrange 插值多项式，并显式处理节点命中与权重尺度。可以更稳定地算出既定插值多项式，却不会让 ${\mathrm{\Lambda }}_n$ 变小。

例子与边界 ​

随着次数增加，固定区间上的等距节点 Lebesgue 常数会快速、最终呈指数级增长；Chebyshev 型节点的增长仅为对数级。端点附近的基函数摆动是两者差异最明显的区域，因此节点向端点聚集并不是装饰，而是在重新控制插值算子的几何放大。

Runge 函数的完整节点 sweep 与误差数据集中放在Chebyshev 多项式与节点公理库Chebyshev 多项式与节点Chebyshev polynomials and nodes · Chebyshev nodes以余弦表示和端点聚集节点控制区间上一致逼近、插值条件性与高次振荡。页面。本页只解释机制：等距节点同时面临较差的节点乘积和迅速增长的算子范数，换成稳定求值公式不能改变这两个问题。

小 ${\mathrm{\Lambda }}_n$ 也不自动保证对每个连续函数快速收敛。准最优界中仍有最佳逼近误差；若函数缺乏光滑性或具有靠近区间的奇异性，低次多项式本身可能逼近得慢。Lebesgue 常数只控制“插值比当前最佳多项式差多少倍”。

推论与应用 ​

节点设计应同时考虑目标函数类、误差范数与 Lebesgue 常数。Chebyshev 点在一致范数多项式插值中提供近最优条件性，但换成加权范数、周期问题或特殊采样约束后，合适的节点也可能改变。

实验比较若要说明节点条件性，应对两组节点使用同一种求值实现，并报告相同的一致误差度量；否则公式误差、节点误差和采样网格误差会混在一起。这个原则也适用于噪声数据：必须给出扰动尺度，不能只展示一条看似平滑的曲线。

参考资料

• Lloyd N. Trefethen, Approximation Theory and Approximation Practice, extended ed., SIAM, 2019, Chs. 15–16.
• Jean-Paul Berrut and Lloyd N. Trefethen, “Barycentric Lagrange Interpolation,” SIAM Review 46(3), 2004.
• NIST Digital Library of Mathematical Functions, §3.3 Interpolation.