多项式插值余项

插值误差必须在所有节点处消失，所以它带有乘积 ${\omega }_{n+1}(x)$；函数无法被次数 $n$ 多项式捕捉的剩余弯曲，则由某处的 $(n+1)$ 阶导数理路导数Derivative函数增量比在步长趋零时的极限。度量。公式把“目标函数有多弯”与“节点怎样分布”分成两个因子。

点 ${\xi }_x$ 由中值定理保证，通常既未知又随查询点变化。余项适合推导界和阶数，不应被当作一个可直接计算的误差修正公式。

先看一个可以把实际误差与上界对照的例子。取 $f(x)=x^2$，在 $0,1$ 处采样得到 $0,1$，穿过两点的插值直线就是 $p_1(x)=x$。余项中的 $f^{″}=2$ 为常数，因此 $f(x)-p_1(x)=x(x-1)$ 完全精确。在 $x=1/2$ 处，直线给出 $1/2$、真值为 $1/4$，误差为 $-1/4$。

一般地，两个节点 $a<b$ 的线性插值满足

若 $f$ 在区间上凸，则 $f^{″}\ge 0$，而内部点有 $(x-a)(x-b)<0$，所以弦线位于函数图像上方。这里余项不仅给大小，也在光滑与符号条件下解释误差方向。又因为 $|(x-a)(x-b)|$ 在中点达到 $(b-a{)}^2/4$，若 $|f^{″}|\le M_2$，便得到整段的误差界 $M_2(b-a{)}^2/8$。上述二次函数恰好达到此界；对一般函数它只是保证，而非每点都会达到的误差。

若 $f$ 只有连续性，互异节点仍唯一确定插值多项式，但经典导数余项可能毫无意义；例如 $f(x)=|x|$ 在节点 $-1,1$ 上给出常数插值 $p_1=1$，中点误差为 $-1$，而 $f^{″}(0)$ 不存在，不能套用二阶导数公式。反过来，高阶导数界很小也不能消除采样数据扰动被插值算子放大的问题，那属于节点条件性理路Lebesgue 常数与插值条件性Lebesgue constant · Interpolation conditioning用插值算子的无穷范数刻画节点集合对采样扰动和最佳逼近误差的放大。。

由于 ${\xi }_x$ 随 $x$ 变化，不能把

当成普通乘积直接对 $x$ 求导。数值微分公式虽可通过对插值多项式求导获得，其导数误差必须另行证明，不能靠形式微分未知的 ${\xi }_x$。

在给定 $M_{n+1}$ 的情况下，节点选择问题转化为控制 $max|{\omega }_{n+1}|$。Chebyshev 节点理路Chebyshev 多项式与节点Chebyshev polynomials and nodes · Chebyshev nodes以余弦表示和端点聚集节点控制区间上一致逼近、插值条件性与高次振荡。与首一多项式的一致范数极小性质由此进入插值误差分析；它解决的是节点因子，不替代对函数光滑性的检查。

余项还为有限差分和 Newton–Cotes 公式提供局部截断误差来源。应用时必须重新核对求导、积分或复合网格对余项的处理条件，而不是只把原公式中的幂次抄成算法阶数。