多项式插值余项

形式陈述 ​

设 $x_0,\dots ,x_n$ 是区间 $[a,b]$ 中互异节点，$p_n$ 是 $f$ 在这些节点上的插值多项式公理库多项式插值问题Polynomial interpolation由互异节点上的有限数据唯一确定次数受限的插值多项式，并区分对象存在性与具体表示算法。。若 $f\in C^{n+1}[a,b]$，则对每个 $x\in [a,b]$，存在依赖于 $x$ 的点 ${\xi }_x\in (a,b)$，使

$$f(x)-p_n(x)=\frac{f^{(n+1)}({\xi }_x)}{(n+1)!}{\omega }_{n+1}(x),{\omega }_{n+1}(x)=\prod _{j=0}^n(x-x_j).$$

当 $x$ 等于节点时，两侧都为零；对非节点，可令

$$g(t)=f(t)-p_n(t)-\frac{f(x)-p_n(x)}{{\omega }_{n+1}(x)}{\omega }_{n+1}(t).$$

$g$ 在 $n+2$ 个互异点 $x_0,\dots ,x_n,x$ 上为零。反复应用Rolle 定理公理库中值定理Mean value theorem闭区间连续且内部可导的函数在某点导数等于割线斜率。，存在 ${\xi }_x$ 使 $g^{(n+1)}({\xi }_x)=0$；再用 $p_n^{(n+1)}=0$ 和 ${\omega }_{n+1}^{(n+1)}=(n+1)!$ 即得公式。

若

$$M_{n+1}=\underset{t\in [a,b]}{max}|f^{(n+1)}(t)|,$$

则有一致上界

$$\Vert f-p_n{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le \frac{M_{n+1}}{(n+1)!}\underset{x\in [a,b]}{max}|{\omega }_{n+1}(x)|.$$

这是由光滑性和节点乘积得到的先验上界，不是对每个 $x$ 的精确误差数值。

直觉 ​

插值误差必须在所有节点处消失，所以它带有乘积 ${\omega }_{n+1}(x)$；函数无法被次数 $n$ 多项式捕捉的剩余弯曲，则由某处的 $(n+1)$ 阶导数度量。公式把“目标函数有多弯”与“节点怎样分布”分成两个因子。

点 ${\xi }_x$ 由中值定理保证，通常既未知又随查询点变化。余项适合推导界和阶数，不应被当作一个可直接计算的误差修正公式。

例子与边界 ​

两个节点 $a<b$ 的线性插值满足

$$f(x)-p_1(x)=\frac{f^{″}({\xi }_x)}{2}(x-a)(x-b).$$

若 $f$ 在区间上凸，则 $f^{″}\ge 0$，而内部点有 $(x-a)(x-b)<0$，所以弦线位于函数图像上方。这里余项不仅给大小，也在光滑与符号条件下解释误差方向。

若 $f$ 只有连续性，互异节点仍唯一确定插值多项式，但经典导数余项可能毫无意义；例如不可微尖点没有所需的高阶导数。反过来，高阶导数界很小也不能消除采样数据扰动被插值算子放大的问题，那属于节点条件性公理库Lebesgue 常数与插值条件性Lebesgue constant · Interpolation conditioning用插值算子的无穷范数刻画节点集合对采样扰动和最佳逼近误差的放大。。

由于 ${\xi }_x$ 随 $x$ 变化，不能把

$$\frac{f^{(n+1)}({\xi }_x)}{(n+1)!}{\omega }_{n+1}(x)$$

当成普通乘积直接对 $x$ 求导。数值微分公式虽可通过对插值多项式求导获得，其导数误差必须另行证明，不能靠形式微分未知的 ${\xi }_x$。

推论与应用 ​

在给定 $M_{n+1}$ 的情况下，节点选择问题转化为控制 $max|{\omega }_{n+1}|$。Chebyshev 节点公理库Chebyshev 多项式与节点Chebyshev polynomials and nodes · Chebyshev nodes以余弦表示和端点聚集节点控制区间上一致逼近、插值条件性与高次振荡。与首一多项式的一致范数极小性质由此进入插值误差分析；它解决的是节点因子，不替代对函数光滑性的检查。

余项还为有限差分和 Newton–Cotes 公式提供局部截断误差来源。应用时必须重新核对求导、积分或复合网格对余项的处理条件，而不是只把原公式中的幂次抄成算法阶数。

参考资料

• NIST Digital Library of Mathematical Functions, §3.3 Interpolation.
• MIT OpenCourseWare, 18.330 Introduction to Numerical Analysis, interpolation and differentiation notes.
• Kendall E. Atkinson, An Introduction to Numerical Analysis, 2nd ed., Wiley, 1989, Ch. 3.