多项式插值问题

$n+1$ 个互异节点给次数至多 $n$ 的多项式施加 $n+1$ 个独立线性条件，恰好确定这个 $(n+1)$ 维空间中的一个元素。插值关注“逐点穿过数据”；逼近关注在某个范数下整体接近目标函数；最小二乘允许不穿过所有点，以换取对噪声或超定数据的整体平衡。若指定最大误差范数，最佳一致逼近理路最佳一致多项式逼近Best uniform polynomial approximation · Minimax polynomial approximation · 极小极大多项式逼近在固定次数内最小化整区间最大误差，证明最优解存在，并区分插值、积分投影与一致最佳解。还给出独立的存在性与最优性证书。

插值先确定函数，再选择保存它的坐标。单项式系数便于代数识别，Newton 形式适合逐点增加数据，重心 Lagrange 形式适合求值；这些表示在精确算术中相同。在实数或复数域上，固定节点并把 $y_j$ 改为 $y_j+\mathrm{\Delta }{y}_j$ 时，有

在节点上只有一个基函数非零，数据扰动不会被额外放大；在节点之间，基函数绝对值之和可能很大。稳定的求值表示能减少计算误差，却不能消除由节点决定的数据敏感性。

在实数域上，三组数据

唯一确定次数不超过 $2$ 的多项式 $p(x)=x^2$。这个简单例子中单项式系数很好辨认，但定理只保证对象唯一；节点数增多或尺度悬殊时，Vandermonde 系统即使可逆也可能非常病态。

若两个普通插值节点重合而给出不同函数值，约束彼此矛盾；若给出相同函数值，它们又是重复条件，不能唯一确定原来的次数上限。Hermite 插值通过在重合节点补充导数数据建立另一套独立条件，但那不是把普通差分公式中的零分母直接保留下来。

即使数据没有噪声，精确穿过节点也不保证区间上逼近良好。经典 Runge 函数 $f(x)=1/(1+25x^2)$ 在 $[-1,1]$ 的高次等距节点插值会在端点附近产生越来越明显的振荡；问题的插值多项式仍然唯一，失败发生在节点选择和逼近稳定性，而不是存在唯一性。若数据本身还带噪，精确穿过每个观测又可能把噪声当成信号，此时回归、最小二乘或平滑样条对应的是另一种任务目标。

重心 Lagrange 插值理路重心 Lagrange 插值Barycentric Lagrange interpolation · Barycentric interpolation预计算重心权后以线性成本求值 Lagrange 插值多项式，并说明节点命中、权重尺度与数值稳定性的条件。、差商与 Newton 形式理路差商与 Newton 插值形式Divided differences · Newton interpolation用递归差商构造可增量扩展的 Newton 插值表示，并以嵌套乘法在线性时间求值。都计算本页定义的同一多项式。在域上的精确算术中，乘积树插值理路乘积树快速多项式插值Product-tree polynomial interpolation · Fast interpolation by product tree以根积导数权重和自底向上线性组合，在一般互异点集上快速恢复插值多项式。还可先计算根积导数权重，再自底向上合并，直接输出同一插值多项式的系数；互异节点保证所需差值都可逆。插值余项理路多项式插值余项Interpolation remainder · Polynomial interpolation error在足够光滑条件下以高阶导数和节点乘积表示插值函数误差，并明确该表达式的适用边界。研究当数据来自函数采样时，插值多项式离原函数多远；Lebesgue 常数理路Lebesgue 常数与插值条件性Lebesgue constant · Interpolation conditioning用插值算子的无穷范数刻画节点集合对采样扰动和最佳逼近误差的放大。研究节点集合怎样放大采样扰动。

有限域上的秘密共享与 Reed–Solomon 译码也使用多项式插值的唯一性，但其误差模型和计算语境不同。本页以实、复数值计算为主要背景，不把有限域的精确代数步骤误写成浮点算法。

解析函数的快速逼近还能量化到具体几何速率。解析函数的谱收敛理路解析函数的谱收敛Spectral convergence for analytic functions用复解析延拓范围定量控制 Fourier 与 Chebyshev 系数衰减，并展示最近极点的作用。用复平面最近奇点及 Bernstein 椭圆控制 Chebyshev 系数，并区分级数截断、节点插值和微分误差。

如果目标是对任意连续函数提供可验证的一致逼近，Bernstein 多项式理路Bernstein 多项式与构造型 Weierstrass 逼近Bernstein polynomial approximation · Bernstein polynomials · Weierstrass approximation theorem · Weierstrass 逼近定理用非负二项式权重构造连续函数的多项式逼近，并给出连续模、Lipschitz及二阶光滑情形的一致误差证书。使用等距样本的非负加权平均，并不要求穿过中间节点。例如对 $f(x)=x^2$，它给出 $B_{n}f=x^2+x(1-x)/n$，内点误差明确非零，却受 $1/(4n)$ 控制。插值条件与全域逼近保证是两个不同的接口。