解析幂级数

系数增长决定一个以展开中心为圆心的收敛区域。进入半径内部后，几何因子压住系数，级数表现得像有限多项式一样稳定；到了边界，几何衰减恰好消失，收敛便由系数中更细的振荡与衰减决定。

本条只讨论解析对象。形式幂级数公理库形式幂级数Formal power series以系数序列为本体并按 Cauchy 卷积运算、不预设解析收敛的无穷级数。属于代数环 $R[[x]]$，变量只是记录次数的符号，不谈数值、极限或收敛半径；普通生成函数首先依赖那一对象。两种幂级数可以使用相同的符号，却不能共用同一主定义。

几何级数 $\sum x^n$ 的半径为 $1$，在 $x=1$ 与 $x=-1$ 都发散；$\sum x^n/n$ 在 $x=-1$ 收敛、在 $x=1$ 发散，说明半径不决定端点。$\sum n!x^n$ 的半径为 $0$，而 $\sum x^n/n!$ 的半径为 $\mathrm{\infty }$。

复级数

在 $|z-1|<2$ 内等于 $2/(3-z)$，收敛半径正是中心 $1$ 到最近奇点 $3$ 的距离。圆盘外即使该有理函数仍有定义，这一特定级数也不再表示它；要越过原圆盘，必须围绕新中心重新展开并作解析延拓。

实变量函数可以无限次可微却不等于其 Taylor 级数，例如

在 $0$ 处所有阶导数皆为零，Taylor 级数恒为零，但 $x\ne 0$ 时函数为正。因此“光滑”不等于“解析”。

幂级数在收敛圆盘内定义全纯函数，并能逐项求导任意次。Taylor 定理公理库泰勒定理Taylor's theorem足够光滑函数由有限阶导数多项式加余项表示。只给有限阶近似；只有余项趋零时，函数才等于其 Taylor 级数。围绕单一中心截断幂级数是局部逼近，多项式插值公理库多项式插值问题Polynomial interpolation由互异节点上的有限数据唯一确定次数受限的插值多项式，并区分对象存在性与具体表示算法。则从区间内离散节点的数据构造全区间表示，二者的误差来源和适用区域不能互换。解析常微分方程可通过比较系数递推局部解，复奇点的位置则常控制系数的渐近增长。

普通生成函数公理库普通生成函数Ordinary generating function把序列编码为形式幂级数 Σ a_n x^n。若进一步拥有正收敛半径，可以把形式恒等式与复分析结合，用最近奇点提取系数渐近；这一步是额外的解析结构，不属于生成函数的最低定义。