形式陈述

以 $c$$c$ 为中心的实或复幂级数是

$$ \sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-c)^n. $$$$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(x-c{)}^n.$$

存在唯一收敛半径 $R\in[0,\infty]$$R\in [0,\mathrm{\infty }]$：当 $|x-c|<R$$|x-c|<R$ 时级数绝对收敛，当 $|x-c|>R$$|x-c|>R$ 时发散；边界 $|x-c|=R$$|x-c|=R$ 必须逐点判断。Cauchy–Hadamard 公式给出

$$ R^{-1}=\limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}. $$$$R^{-1}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}|a_n{|}^{1/n}.$$

在任意更小闭圆盘内收敛一致，并可逐项求导、积分，且导数级数具有同一半径。

直觉

幂级数把函数编码成围绕中心的系数序列。收敛半径形成一个清晰的“内收敛、外发散”区域，而边界保留更细的函数信息。

例子与边界

几何级数 $\sum x^n$$\sum x^n$ 的半径为 $1$$1$，在 $x=1$$x=1$ 发散、在 $x=-1$$x=-1$ 也发散；$\sum x^n/n$$\sum x^n/n$ 在 $x=-1$$x=-1$ 收敛而在 $x=1$$x=1$ 发散，显示端点行为不由半径决定。$\sum n!x^n$$\sum n!x^n$ 的半径为 $0$$0$，$\sum x^n/n!$$\sum x^n/n!$ 的半径为 $\infty$$\mathrm{\infty }$。实变量函数可无限次可微但不等于其 Taylor 级数，故“光滑”不等于“解析”。形式幂级数则不讨论数值收敛。

推论与应用

幂级数定义解析函数，支撑 Taylor 展开、常微分方程局部解、生成函数和复分析中的解析延拓。

参考资料

• Stephen Abbott, Understanding Analysis, 2nd ed., Springer, 2015，§6.5, power series, radius, and termwise operations。
• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed., McGraw-Hill, 1976，Ch. 8, power series and analytic functions。