二项式定理 | Codeboy's Blog

形式陈述

若 $x,y$ $x, y$ 属于同一个含幺环并满足 $xy=yx$ $x y = y x$ ，则对任意整数 $n\ge0$ $n \geq 0$ ，

$$ (x+y)^n=\sum_{k=0}^n\binom nk x^{n-k}y^k. $$

(x + y)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{n - k} y^{k} .

其中

$$ \binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!} $$

(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!}

在整数中定义，再经含幺环的自然映射 $\mathbb Z\to R$ $Z \to R$ 作用于环。系数满足 Pascal 恒等式

$$ \binom nk=\binom{n-1}{k}+\binom{n-1}{k-1}, $$

(\binom{n}{k}) = (\binom{n - 1}{k}) + (\binom{n - 1}{k - 1}),

由此可作归纳证明。

直觉

展开 $n$ $n$ 个因子 $(x+y)$ $(x + y)$ 时，每一项都要在每个因子中选择 $x$ $x$ 或 $y$ $y$ 。恰好选 $k$ $k$ 次 $y$ $y$ 的选择方案有 $\binom nk$ $(\binom{n}{k})$ 个，因此同类项合并后出现二项式系数。

例子与边界

$(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$ $(x + y)^{3} = x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3}$ 。若 $x,y$ $x, y$ 不交换，展开中 $xy$ $x y$ 与 $yx$ $y x$ 不能合并，普通公式失效；例如 $(x+y)^2=x^2+xy+yx+y^2$ $(x + y)^{2} = x^{2} + x y + y x + y^{2}$ ，不必等于 $x^2+2xy+y^2$ $x^{2} + 2 x y + y^{2}$ 。

推论与应用

取 $x=y=1$ $x = y = 1$ 得 $\sum_k\binom nk=2^n$ $\sum_{k} (\binom{n}{k}) = 2^{n}$ ；取 $x=1,y=-1$ $x = 1, y = - 1$ 得偶数项与奇数项系数和相等。定理连接代数展开、组合计数、概率分布与有限差分。

参考资料

Eric Lehman, F. Thomson Leighton, and Albert R. Meyer, Mathematics for Computer Science, rev. 2018，§14.2。
Kenneth H. Rosen, Discrete Mathematics and Its Applications, 8th ed., McGraw-Hill, 2019，§6.4。

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