二项式定理

把 $(x+y{)}^n$ 写成 $n$ 个因子的乘积，用分配律展开。每个原始项都对应一条选择记录：在第一个因子选 $x$ 或 $y$，然后在第二个因子选一个，直到最后一个因子。记录共 $2^n$ 条；不同记录未必产生不同的值，接下来正要把能合并的项归在一起。

例如三个因子中恰选一次 $y$，原始项是 $yxx,xyx,xxy$。当 $xy=yx$ 时，三项都能写成 $x^{2}y$，相加得到 $3x^{2}y$。一般地，只需指定哪 $k$ 个因子贡献 $y$，就确定一条含 $k$ 个 $y$ 的记录；这样的记录有 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ 条，每条都整理成 $x^{n-k}{y}^k$。于是分配律、位置选择和交换律依次给出整个公式。这个论证也说明为什么只要求 $x$ 与 $y$ 彼此交换，无须要求环内所有元素都交换。

$n=3$ 时按系数 $1,3,3,1$ 展开：$(x+y{)}^3=x^3+3x^{2}y+3x{y}^2+y^3$，其中 $3=(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1})$ 对应"三个因子中挑一个出 $y$"的三种方式。若 $x,y$ 不交换，展开中 $xy$ 与 $yx$ 是不同的项、不能合并，普通公式失效：例如 $(x+y{)}^2=x^2+xy+yx+y^2$，只有当 $xy=yx$ 时才等于 $x^2+2xy+y^2$。取实矩阵

这里 $A^2=B^2=0$，但 $AB=\mathrm{diag}(1,0)$、$BA=\mathrm{diag}(0,1)$。因此 $(A+B{)}^2=I$，而 $A^2+2AB+B^2=\mathrm{diag}(2,0)$，确实不同。失败的是交换性假设，分配律本身仍然成立。

系数"先在 $\mathbb{Z}$ 中算、再映入 $R$"这一细节在有限特征理路域的特征Characteristic of a field单位元反复相加首次得到零的最小正整数，若不存在则为零。下产生真实后果：设 $p$ 为素数，则 $0<k<p$ 时 $p\mid (\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{k})$，故在特征 $p$ 的交换环中

在实数上通常会漏掉中间项的这个公式，在特征 $p$ 下成立，因为所有中间系数都变为零。它说明 Frobenius 映射 $r\mapsto r^p$ 是从该环到自身的环端同态（endomorphism）。

一般情形只保证端同态，既不必单射也不必满射：例如在 ${\mathbb{F}}_p[\epsilon ]/({\epsilon }^2)$ 中有 ${\epsilon }^p=0$，而在 ${\mathbb{F}}_p(t)$ 中 $t$ 不在其像中。在有限域等 Frobenius 双射的情形，它才是环自同构（automorphism）。这个恒等式也可用来证明 Fermat 小定理理路费马小定理Fermat's little theorem素数 p 与不被 p 整除的整数 a 满足 a^(p−1)≡1 mod p。。

在公式中代入特殊值立即得到一批组合恒等式：取 $x=y=1$ 得 $\sum _k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=2^n$，即 $n$ 元集合的子集总数；取 $x=1,y=-1$ 得当 $n\ge 1$ 时 $\sum _k(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=0$，即奇数大小与偶数大小的子集一样多。在实多项式恒等式中，对两侧求导或积分还能生成 $\sum _{k}k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=n{2}^{n-1}$ 一类恒等式。

定理沿两个方向推广：因子多于两项时得到以多项式系数理路多项式系数Multinomial coefficient把 n 个可区分对象分入若干有标号组时的计数系数 n!/(n1!⋯nk!)。为系数的多项式定理；对于实数或复数指数 $\alpha$，Newton 的广义二项级数在 $|x|<1$ 内把 $(1+x{)}^{\alpha }$ 展成收敛的幂级数理路解析幂级数Power series · Analytic power series在实数或复数中按收敛半径定义函数的幂级数。。复数情形在此圆盘上选取满足 $\mathrm{Log}(1)=0$ 的解析对数，并定义 $(1+x{)}^{\alpha }=\exp (\alpha \mathrm{Log}(1+x))$；这项解析推广另有其标量与收敛条件。边界 $|x|=1$ 需另行判断收敛性。

在概率论中，定理保证二项分布诸概率 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k}$ 之和为 $(p+(1-p){)}^n=1$，是 Bernoulli 试验计数与代数展开之间的桥梁。

组合复杂度中常用粗界 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{d})\le (em/d{)}^d$。当 $1\le d<m$ 时，由二项式定理对任意 $x>0$ 有 $(1+x{)}^m\ge (\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{d})x^d$，取 $x=d/(m-d)$，此时

其中最后一步使用 $(1+d/(m-d){)}^{m-d}\le e^d$。$d=m$ 时不等式由 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{m})=1\le e^m$ 直接成立。它把二项式计数改写成便于取对数的幂式，是Sauer–Shelah 引理理路Sauer–Shelah 引理Sauer's lemma · Sauer–Shelah–Perles lemma把有限 VC 维转化为假设类在有限样本上的多项式标注数上界。导出 VC 泛化数量级时的一步；$d=0$ 或 $d>m$ 应回到组合数的边界约定，不能把含 $1/d$ 的式子机械套用。