二项式定理

把 $(x+y{)}^n$ 看成 $n$ 个相同因子的乘积逐个展开：每个乘积项都是在每个因子里"选 $x$ 还是选 $y$"的一次决策序列，展开式因此共有 $2^n$ 个原始项。当 $x$ 与 $y$ 可交换时，一个项的值只取决于其中 $y$ 被选了几次，与选择发生在哪些因子无关；恰好选 $k$ 次 $y$ 的决策序列有 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ 个，于是同类项合并后每个单项式 $x^{n-k}{y}^k$ 前面出现二项式系数公理库二项式系数Binomial coefficientn 元集合的 k 元子集数，记作 C(n,k)。。这解释了定理的双重身份：它既是一条代数恒等式，也是一次组合计数——系数不是算出来的神秘数字，而是"哪些因子贡献了 $y$"这一子集选择的个数。交换性假设正是同类项合并这一步的通行证，去掉它整个合并机制就会失效。

$n=3$ 时按系数 $1,3,3,1$ 展开：$(x+y{)}^3=x^3+3x^{2}y+3x{y}^2+y^3$，其中 $3=(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1})$ 对应"三个因子中挑一个出 $y$"的三种方式。若 $x,y$ 不交换，展开中 $xy$ 与 $yx$ 是不同的项、不能合并，普通公式失效：例如 $(x+y{)}^2=x^2+xy+yx+y^2$，只有当 $xy=yx$ 时才等于 $x^2+2xy+y^2$。矩阵乘法是最常见的反例来源，$(A+B{)}^2=A^2+2AB+B^2$ 对一般方阵并不成立。

系数"先在 $\mathbb{Z}$ 中算、再映入 $R$"这一细节在有限特征公理库域的特征Characteristic of a field单位元反复相加首次得到零的最小正整数，若不存在则为零。下产生真实后果：设 $p$ 为素数，则 $0<k<p$ 时 $p\mid (\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{k})$，故在特征 $p$ 的交换环中

这条在 $\mathbb{R}$ 上荒谬的“新手之梦”在此完全正确，它说明 Frobenius 映射 $r\mapsto r^p$ 是从该环到自身的环端同态（endomorphism）。一般情形只保证端同态，既不必单射也不必满射：例如在 ${\mathbb{F}}_p[\epsilon ]/({\epsilon }^2)$ 中有 ${\epsilon }^p=0$，而在 ${\mathbb{F}}_p(t)$ 中 $t$ 不在其像中。在有限域等 Frobenius 双射的情形，它才是环自同构（automorphism）。这个恒等式也可用来证明 Fermat 小定理公理库费马小定理Fermat's little theorem素数 p 与不被 p 整除的整数 a 满足 a^(p−1)≡1 mod p。。

在公式中代入特殊值立即得到一批组合恒等式：取 $x=y=1$ 得 $\sum _k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=2^n$，即 $n$ 元集合的子集总数；取 $x=1,y=-1$ 得当 $n\ge 1$ 时 $\sum _k(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=0$，即奇数大小与偶数大小的子集一样多。对求和式两侧求导或积分还能生成 $\sum _{k}k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=n{2}^{n-1}$ 一类恒等式。定理沿两个方向推广：因子多于两项时得到以多项式系数公理库多项式系数Multinomial coefficient把 n 个可区分对象分入若干有标号组时的计数系数 n!/(n1!⋯nk!)。为系数的多项式定理；指数不取非负整数时，Newton 的广义二项级数在 $|x|<1$ 内把 $(1+x{)}^{\alpha }$ 展成收敛的幂级数公理库解析幂级数Power series · Analytic power series在实数或复数中按收敛半径定义函数的幂级数。，边界 $|x|=1$ 则需另行判断收敛性。在概率论中，定理保证二项分布诸概率 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k}$ 之和为 $(p+(1-p){)}^n=1$，是 Bernoulli 试验计数与代数展开之间的桥梁。

组合复杂度中常用粗界 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{d})\le (em/d{)}^d$。当 $1\le d<m$ 时，由二项式定理对任意 $x>0$ 有 $(1+x{)}^m\ge (\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{d})x^d$，取 $x=d/(m-d)$ 并估计 $(1+d/(m-d){)}^{m-d}\le e^d$ 即可得到；$d=m$ 时不等式由 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{m})=1\le e^m$ 直接成立。它把二项式计数改写成便于取对数的幂式，是Sauer–Shelah 引理公理库Sauer–Shelah 引理Sauer's lemma · Sauer–Shelah–Perles lemma把有限 VC 维转化为假设类在有限样本上的多项式标注数上界。导出 VC 泛化数量级时的一步；$d=0$ 或 $d>m$ 应回到组合数的边界约定，不能把含 $1/d$ 的式子机械套用。