形式陈述

若 $p$$p$ 为素数，则对任意整数 $a$$a$，

$$ a^p\equiv a\pmod p. $$$$a^p\equiv a(\mathrm{mod}p).$$

若 $p\nmid a$$p\nmid a$，可在域 $\mathbb F_p$${\mathbb{F}}_p$ 中消去 $a$$a$，得到等价形式

$$ a^{p-1}\equiv1\pmod p. $$$$a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p).$$

一种证明是乘法映射 $x\mapsto ax$$x\mapsto ax$ 置换非零剩余类，比较

$$ 1\cdot2\cdots(p-1) $$$$1\cdot 2\cdots (p-1)$$

与其乘以 $a$$a$ 后的乘积。它也是 Euler 定理 $a^{\varphi(n)}\equiv1\pmod n$$a^{\phi (n)}\equiv 1(\mathrm{mod}n)$ 在素数模下的特例。

直觉

非零模 $p$$p$ 元素组成阶 $p-1$$p-1$ 的有限群；任一元素的幂按群阶回到单位。素数性保证所有非零类都可逆。

例子与边界

$2^{10}\equiv1\pmod{11}$$2^{10}\equiv 1(\mathrm{mod}11)$。逆命题不成立：某些合数 $n$$n$ 对特定底数也满足 $a^{n-1}\equiv1\pmod n$$a^{n-1}\equiv 1(\mathrm{mod}n)$，甚至 Carmichael 数对所有与 $n$$n$ 互素的 $a$$a$ 都成立。因此通过一个底数测试不能证明素性。形式 $a^{p-1}\equiv1$$a^{p-1}\equiv 1$ 要求 $p\nmid a$$p\nmid a$；若 $a\equiv0$$a\equiv 0$，应使用 $a^p\equiv a$$a^p\equiv a$。定理只给模 $p$$p$ 的同余，不给整数等式，也不说明指数 $p-1$$p-1$ 是每个元素的最小周期。

推论与应用

费马小定理用于模幂化简、逆元计算、伪素数测试和有限域多项式恒等式。

参考资料

• Kenneth Ireland and Michael Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory, 2nd ed., Springer, 1990，Ch. 2, Fermat and Euler theorems。
• Ivan Niven, Herbert S. Zuckerman, and Hugh L. Montgomery, An Introduction to the Theory of Numbers, 5th ed., Wiley, 1991，Ch. 2, Fermat little theorem and pseudoprimes。