整数

形式陈述 ​

令 $\mathbb{N}$ 为自然数集合。在 $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$ 上定义

$$(a,b)\sim (c,d)⟺a+d=b+c.$$

这是一个等价关系；整数集合定义为商集

$$\mathbb{Z}=(\mathbb{N}\times \mathbb{N})/\sim .$$

等价类 $[(a,b)]$ 表示形式差 $a-b$。加法和乘法定义为

$$[(a,b)]+[(c,d)]=[(a+c,b+d)],$$$$[(a,b)]\cdot [(c,d)]=[(ac+bd,ad+bc)].$$

这些定义与代表元选择无关。映射

$$\iota :\mathbb{N}\to \mathbb{Z},n\mapsto [(n,0)]$$

是保持 $0,1,+,\cdot$ 的单射；整数的相反数为

$$-[(a,b)]=[(b,a)].$$

顺序可定义为

$$[(a,b)]\le [(c,d)]⟺a+d\le b+c.$$

在这些运算与顺序下，$\mathbb{Z}$ 是有序交换环。

直觉 ​

自然数可以做加法和乘法，却不能保证减法仍留在自然数中。整数构造的核心不是“额外添上负号”，而是把所有形式差一起加入，并识别表示同一差的有序对。例如 $(5,2)$、$(4,1)$ 与 $(3,0)$ 都表示 $3$，因为给两边补上同样数量不会改变差值。

商集步骤消除了表示冗余；随后必须验证运算与顺序对代表元无关。没有这一步，公式只是在有序对上计算，尚未真正定义在整数上。

例子与边界 ​

$$[(2,5)]=[(0,3)]$$

表示整数 $-3$，因为 $2+3=5+0$。又有

$$[(2,5)]+[(4,1)]=[(6,6)]=0.$$

自然数 $n$ 嵌入为 $[(n,0)]$，但整数并不等同于“自然数与负自然数的不交并”：零只能出现一次，运算还必须跨越正负两部分保持一致。

构造使用的代表元不是整数本身。写 $[(a,b)]$ 时，等价类才是对象；任意挑一个代表元并在其上定义不相容操作，会破坏良定义性。类似地，整数上的大小顺序与整除关系不同：$2<3$，但 $2\nmid 3$。

推论与应用 ​

自然数公理库自然数模型Natural numbers · Peano system由零元、后继和二阶归纳原则范畴性刻画的离散数系模型。经由 $\iota$ 成为整数的非负部分。笛卡尔积公理库笛卡尔积Cartesian product · Direct product of setsA×B 是所有第一分量来自 A、第二分量来自 B 的有序对组成的集合。提供形式差的表示，商集公理库商集Quotient set · Set of equivalence classes等价关系的所有等价类组成的集合。把等价表示压成同一个整数。

整数是整除公理库整除Divisibility存在整数倍关系时定义的二元关系。、同余、最大公因数和素因数分解的基本载体。进一步把整数对按非零分母的比例关系取商，可构造有理数；把整数看作初始环，则任何环中的单位元都唯一诱导一个从 $\mathbb{Z}$ 出发的环同态。

参考资料

• Michael Artin, Algebra, 2nd ed., Pearson, 2011, Chapter 1.
• Herbert B. Enderton, Elements of Set Theory, Academic Press, 1977, §3.
• Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, Springer, 1976, Chapter 1.