PID 上的 Smith 正规形

形式陈述

设 $R$ 是主理想整环， $A\in R^{m\times n}$ 。存在可逆矩阵 $U\in\operatorname{GL}_m(R)$ 、 $V\in\operatorname{GL}_n(R)$ ，使

UAV=\operatorname{diag}(d_1,\ldots,d_r,0,\ldots,0), \qquad d_1\mid d_2\mid\cdots\mid d_r,

其中 $r$ 是 $A$ 在分式域上的秩。非零元素 $d_i$ 称为不变因子；它们只在乘以 $R$ 的单位元，即相伴关系下唯一。

可逆初等行变换对应左乘 $U$ ，可逆初等列变换对应右乘 $V$ 。证明先用 Bézout 运算把一个非零元移到左上角，并不断用 gcd 替换使该元整除其余条目；清零首行首列后对剩余子矩阵归纳。若当前主元不整除剩余块中的某项，就把该项引入主元位置继续做 gcd，所生成的主理想严格增大；PID 的 Noether 性保证过程终止。最后调整相邻对角元得到整除链。

唯一性可由行列式因子看出。令 $\Delta_k(A)$ 为所有 $k\times k$ 子式生成的理想，则可逆行列变换保持 $\Delta_k$ ，而 Smith 形满足

\Delta_k(A)=(d_1d_2\cdots d_k).

因此各 $d_k$ 可由相邻行列式因子的商在相伴意义下恢复。

直觉

域上的高斯消元可以任意除以非零数，最终只留下秩。PID 中一般不能除，但可以借助 gcd 和 Bézout 等式把关系逐步变得可整除。Smith 正规形保留了高斯消元在环上的可逆部分，同时把无法除掉的信息浓缩进 $d_1\mid\cdots\mid d_r$ 。

行变换是在重新组合关系，列变换是在更换生成元；两者都不改变由矩阵呈示的模。对角形意味着原本交织的关系已经拆成彼此独立的单变量关系，因此它既是矩阵正规形，也是模结构分解的计算引擎。

例子与边界

在 $\mathbb Z$ 上取

A=\begin{pmatrix}2&4\\6&8\end{pmatrix}.

先作 $R_2\leftarrow R_2-3R_1$ ，再作 $C_2\leftarrow C_2-2C_1$ ，最后把第二行乘以 $-1$ ：

\begin{pmatrix}2&4\\6&8\end{pmatrix} \sim\begin{pmatrix}2&4\\0&-4\end{pmatrix} \sim\begin{pmatrix}2&0\\0&-4\end{pmatrix} \sim\begin{pmatrix}2&0\\0&4\end{pmatrix}.

所以 Smith 不变因子为 $2,4$ ，并且

\operatorname{coker}(A)=\mathbb Z^2/A\mathbb Z^2 \cong\mathbb Z/2\mathbb Z\oplus\mathbb Z/4\mathbb Z.

PID 假设不能删去。在 $k[x,y]$ 上，一行矩阵 $(x\ y)$ 若存在 Smith 形 $(d\ 0)$ ，其条目生成的理想就应是主理想 $(d)$ ；但 $(x,y)$ 不是主理想。Smith 正规形也不是实矩阵的奇异值分解：前者用环上的可逆行列变换并记录整除，后者用正交/酉变换并记录非负实奇异值。

推论与应用

若 $A:R^n\to R^m$ 的 Smith 形有非零对角元 $d_1,\ldots,d_r$ ，则

\operatorname{coker}(A) \cong R^{m-r}\oplus R/(d_1)\oplus\cdots\oplus R/(d_r).

这把余核和有限呈示模的结构直接化为可计算的不变因子。取 $R=\mathbb Z$ 可分类有限生成阿贝尔群并解整数线性方程；取 $R=F[x]$ 则连接线性算子的有理标准形。

行列式因子还提供无需完整记录消元过程的校验： $d_1$ 是全部条目的 gcd， $d_1d_2$ 是全部二阶子式的 gcd，依此类推。所有这些 gcd 只确定到单位元，正好解释正规形唯一性的准确范围。

参考资料

David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., Wiley, 2004, §12.1.
Sanjana Das and Jakin Ng, Algebra II, Lecture 21: Smith Normal Form, MIT OpenCourseWare RES.18-012, 2022, accessed 2026.

形式陈述 ​

反向链接

形式陈述