PID 上的 Smith 正规形

形式陈述 ​

设 $R$ 是主理想整环公理库主理想整环Principal ideal domain · PID每个理想都由单个元素生成的整环。，$A\in R^{m\times n}$。存在可逆矩阵 $U\in {\mathrm{GL}}_m(R)$、$V\in {\mathrm{GL}}_n(R)$，使

$$UAV=\mathrm{diag}(d_1,\dots ,d_r,0,\dots ,0),d_1\mid d_2\mid \cdots \mid d_r,$$

其中 $r$ 是 $A$ 在分式域上的秩。非零元素 $d_i$ 称为不变因子；它们只在乘以 $R$ 的单位元，即相伴关系下唯一。

可逆初等行变换对应左乘 $U$，可逆初等列变换对应右乘 $V$。证明先用 Bézout 运算把一个非零元移到左上角，并不断用 gcd 替换使该元整除其余条目；清零首行首列后对剩余子矩阵归纳。若当前主元不整除剩余块中的某项，就把该项引入主元位置继续做 gcd，所生成的主理想严格增大；PID 的 Noether 性保证过程终止。最后调整相邻对角元得到整除链。

唯一性可由行列式因子看出。令 ${\mathrm{\Delta }}_k(A)$ 为所有 $k\times k$ 子式生成的理想，则可逆行列变换保持 ${\mathrm{\Delta }}_k$，而 Smith 形满足

$${\mathrm{\Delta }}_k(A)=(d_1{d}_2\cdots d_k).$$

因此各 $d_k$ 可由相邻行列式因子的商在相伴意义下恢复。

直觉 ​

域上的高斯消元可以任意除以非零数，最终只留下秩。PID 中一般不能除，但可以借助 gcd 和 Bézout 等式把关系逐步变得可整除。Smith 正规形保留了高斯消元在环上的可逆部分，同时把无法除掉的信息浓缩进 $d_1\mid \cdots \mid d_r$。

行变换是在重新组合关系，列变换是在更换生成元；两者都不改变由矩阵呈示的模。对角形意味着原本交织的关系已经拆成彼此独立的单变量关系，因此它既是矩阵正规形，也是模结构分解的计算引擎。

例子与边界 ​

在 $\mathbb{Z}$ 上取

$$A=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 6& 8\end{array}\right).$$

先作 $R_2\leftarrow R_2-3R_1$，再作 $C_2\leftarrow C_2-2C_1$，最后把第二行乘以 $-1$：

$$\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 6& 8\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 0& -4\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& -4\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 4\end{array}\right).$$

所以 Smith 不变因子为 $2,4$，并且

$$\mathrm{coker}(A)={\mathbb{Z}}^2/A{\mathbb{Z}}^2\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}.$$

PID 假设不能删去。在 $k[x,y]$ 上，一行矩阵 $(xy)$ 若存在 Smith 形 $(d0)$，其条目生成的理想就应是主理想 $(d)$；但 $(x,y)$ 不是主理想。Smith 正规形也不是实矩阵的奇异值分解：前者用环上的可逆行列变换并记录整除，后者用正交/酉变换并记录非负实奇异值。

推论与应用 ​

若 $A:R^n\to R^m$ 的 Smith 形有非零对角元 $d_1,\dots ,d_r$，则

$$\mathrm{coker}(A)\cong R^{m-r}\oplus R/(d_1)\oplus \cdots \oplus R/(d_r).$$

这把余核公理库余核Cokernel · 余核对象将目标模中已被同态像命中的部分商去，留下映射未覆盖方向的泛性质对象。和有限呈示模的结构直接化为可计算的不变因子。取 $R=\mathbb{Z}$ 可分类有限生成阿贝尔群并解整数线性方程；取 $R=F[x]$ 则连接线性算子的有理标准形。

行列式因子还提供无需完整记录消元过程的校验：$d_1$ 是全部条目的 gcd，$d_1{d}_2$ 是全部二阶子式的 gcd，依此类推。所有这些 gcd 只确定到单位元，正好解释正规形唯一性的准确范围。

参考资料

• David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., §12.1.
• MIT 18.701/18.702, Smith Normal Form lecture notes.