主理想整环

主理想整环公理库整环Integral domain含单位元 1≠0、无零因子的交换环。要求每个理想都能由一个元素生成，把任意有限乃至无限生成的理想压缩成一个生成元，使“所有共同线性组合”由单个 gcd 式对象完整描述。它比 Euclid 整环只少一个显式算法，却仍足以保证 Bézout 性与唯一分解。条件“整环”不可省，否则主理想环可能含零因子。

$\mathbb{Z}$ 与 $F[x]$ 是 PID。$\mathbb{Z}[x]$ 不是 PID，因为理想 $(2,x)$ 不能由单个多项式生成，尽管 $\mathbb{Z}[x]$ 是 UFD；这说明 UFD 不必是 PID。多元多项式环 $F[x,y]$ 中 $(x,y)$ 也非主理想。主理想环有时允许零因子，而“主理想整环”明确要求整环，不能混称。PID 中非零素理想是极大理想，但零理想一般不是极大，如$\mathbb{Z}/(0)=\mathbb{Z}$ 不是域。理想生成元只在乘单位意义下唯一。

在 $\mathbb{Q}[x]$ 中，理想

实际上是主理想 $(x-1)$。一方面两个生成元都被 $x-1$ 整除，所以 $I\subseteq (x-1)$；另一方面

故 $(x-1)\subseteq I$。这个计算就是“多生成元理想由最大公因式压成一个生成元”的具体版本。生成元不唯一：任何非零常数倍 $c(x-1)$ 都生成同一理想。PID 的定义保证这样的单生成元存在，却不自带寻找它的某个指定 Euclid 算法；算法性是 Euclid 整环额外提供的结构。

Euclid 整环公理库欧几里得整环Euclidean domain带有允许带余除法并严格下降的欧几里得函数的整环。必为 PID，而 PID 必为唯一分解整环公理库唯一分解整环Unique factorization domain · UFD每个非零非单位元素都能唯一地分解为不可约元乘积的整环。。Bézout 性使矩阵可化为Smith 正规形公理库PID 上的 Smith 正规形Smith normal form over a PID · Smith normal formPID 上的矩阵可经可逆行列变换化为满足整除链的对角形，且对角因子在相伴意义下唯一。，继而得到有限生成模结构定理公理库PID 上有限生成模结构定理Structure theorem for finitely generated modules over a PIDPID 上每个有限生成模唯一分解为有限秩自由部分与满足整除链的循环挠模。；两者统一整数线性方程、有限生成阿贝尔群分类与线性算子的有理标准形，也为代数数论中的理想分解提供基线。