形式陈述

主理想整环（PID）是每个理想都由单个元素生成的整环：对任意理想 $I\triangleleft R$$I◃R$，存在 $a\in R$$a\in R$ 使 $I=(a)=\{ra:r\in R\}$$I=(a)=\{ra:r\in R\}$。零理想由 $0$$0$ 生成，整个环由任一单位生成。PID 中任意两个元素 $a,b$$a,b$ 的理想 $(a,b)$$(a,b)$ 为主理想 $(d)$$(d)$，生成元 $d$$d$ 可取为最大公因子，并有 $d=ra+sb$$d=ra+sb$。每个 PID 都是唯一分解整环；每个欧几里得整环都是 PID，但两个逆命题一般都不成立。域是 PID，因为只有 $(0)$$(0)$ 与 $(1)$$(1)$ 两个理想。

直觉

PID 把任意有限甚至无限生成的理想压缩成一个生成元，使“所有共同线性组合”由一个最大公因子完整描述。

例子与边界

$\mathbb Z$$\mathbb{Z}$ 与 $F[x]$$F[x]$ 是 PID。$\mathbb Z[x]$$\mathbb{Z}[x]$ 不是 PID，因为理想 $(2,x)$$(2,x)$ 不能由单个多项式生成，尽管 $\mathbb Z[x]$$\mathbb{Z}[x]$ 是 UFD；这说明 UFD 不必是 PID。多元多项式环 $F[x,y]$$F[x,y]$ 中 $(x,y)$$(x,y)$ 也非主理想。主理想环有时允许零因子，而“主理想整环”明确要求整环，不能混称。PID 中非零素理想是极大理想，但零理想一般不是极大，如 $\mathbb Z/(0)=\mathbb Z$$\mathbb{Z}/(0)=\mathbb{Z}$ 不是域。理想生成元只在乘单位意义下唯一。

推论与应用

PID 的理想结构支撑模的结构定理、Smith 标准形、有限生成阿贝尔群分类和代数数论中的理想分解基线。

参考资料

• David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., Wiley, 2004，Ch. 8, principal ideal domains and unique factorization。
• Michael Artin, Algebra, 2nd ed., Pearson, 2011，Ch. 11, principal ideals and factorization。