形式陈述

整环 $R$$R$ 称为唯一分解整环（UFD），若满足：

1. 每个非零非单位元都能写成有限个不可约元的乘积；
2. 若

$$ a=p_1\cdots p_r=q_1\cdots q_s $$$$a=p_1\cdots p_r=q_1\cdots q_s$$

均为不可约分解，则 $r=s$$r=s$，并可重排使每个 $p_i$$p_i$ 与对应 $q_i$$q_i$ 相伴。 在 UFD 中，不可约元恰为素元。每个 PID 都是 UFD；若 $R$$R$ 是 UFD，则 Gauss 引理推出 $R[x]$$R[x]$ 也是 UFD。

直觉

UFD 保证乘法对象可分解成“原子”，而且除了次序与单位倍数外没有歧义。素元性质正是比较两种分解时逐个配对因子的机制。

例子与边界

$\mathbb Z$$\mathbb{Z}$ 与域上的多项式环 $F[x_1,\dots,x_n]$$F[x_1,\dots ,x_n]$ 都是 UFD。$\mathbb Z[\sqrt{-5}]$$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ 不是 UFD，因为

$$ 6=2\cdot3=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5}) $$$$6=2\cdot 3=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})$$

给出本质不同的不可约分解。UFD 不要求每个理想主生成，例如 $F[x,y]$$F[x,y]$ 是 UFD，却不是 PID。存在性与唯一性必须同时满足；仅有原子分解的整环称原子整环。唯一性总是模去单位与排列，不能要求字面相同。零和单位不纳入不可约分解。

推论与应用

UFD 使 gcd、分式约分和多项式内容可良定义，并为代数几何中 Weil 除子和正规性提供基准。

参考资料

• David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., Wiley, 2004，§8.3, unique factorization domains and Gauss lemma。
• Michael Artin, Algebra, 2nd ed., Pearson, 2011，Ch. 11, factorization domains and polynomial rings。