唯一分解整环

UFD 保证乘法对象可分解成“原子”，而且除了次序与单位倍数外没有歧义。素元性质正是比较两种分解时逐个配对因子的机制。

UFD 要求每个非零非单位元都能分解为不可约元，且除顺序与单位外唯一。唯一性等价于不可约元具有素元的乘积穿透性质。它保留整数素因数分解的核心，却不要求每个理想主生成，也不保证存在 Euclid 算法。

$\mathbb{Z}$ 与域上的多项式环 $F[x_1,\dots ,x_n]$ 都是 UFD。$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ 不是 UFD，因为

给出本质不同的不可约分解。UFD 不要求每个理想主生成，例如 $F[x,y]$ 是 UFD，却不是 PID。存在性与唯一性必须同时满足；仅有原子分解的整环公理库整环Integral domain含单位元 1≠0、无零因子的交换环。称原子整环。唯一性总是模去单位与排列，不能要求字面相同。零和单位不纳入不可约分解。

高斯整数 $\mathbb{Z}[i]$ 是 UFD，其中

这并不与整数中的“$5$ 是素数”冲突，因为不可约性依赖所在的环；进入 $\mathbb{Z}[i]$ 后，$5$ 已不再不可约。类似地，$12=2^2\cdot 3$ 与 $12=(-2{)}^2\cdot 3$ 被视为同一分解，因为单位因子可以吸收进不可约元。UFD 的唯一性始终是“忽略排列和相伴元”后的唯一，而不是因子字面完全相同。

UFD 使 gcd、分式约分和多项式内容可良定义，并为代数几何中 Weil 除子和正规性提供基准。

主理想整环公理库主理想整环Principal ideal domain · PID每个理想都由单个元素生成的整环。必为 UFD，Gauss 引理又把 UFD 性传给一元多项式环。素元公理库素元Prime element整除乘积时必整除至少一个因子的非零非单位元素。与不可约元在此等价，使分式域、内容分解和代数数论中的因子追踪可行。