形式陈述

整环 $R$$R$ 称为欧几里得整环，若存在函数 $\delta:R\setminus\{0\}\to\mathbb N$$\delta :R\setminus \{0\}\to \mathbb{N}$（或更一般良序集），使对任意 $a\in R$$a\in R$、$0\ne b\in R$$0\ne b\in R$，存在 $q,r\in R$$q,r\in R$ 满足

$$ a=bq+r,\qquad r=0\ \text{或}\ \delta(r)<\delta(b). $$$$a=bq+r,r=0\text{或}\delta (r)<\delta (b).$$

反复带余除法因 $\delta$$\delta$ 严格下降而终止，得到最大公因子及 Bézout 表示。取非零理想中 $\delta$$\delta$ 最小的非零元，可证明该元生成整个理想，所以欧几里得整环必为主理想整环，进而为唯一分解整环。欧几里得函数不是环结构的一部分，也不要求唯一。

直觉

欧几里得函数给非零余数一个严格下降的“尺寸”，保证不断除法不会无限进行，并把理想中的最小元素变成生成元。

例子与边界

$\mathbb Z$$\mathbb{Z}$ 以 $\delta(n)=|n|$$\delta (n)=|n|$ 为欧几里得函数；域 $F$$F$ 上的 $F[x]$$F[x]$ 以次数为函数。任意域也可视为欧几里得整环，因为除法余数总可取 $0$$0$。高斯整数 $\mathbb Z[i]$$\mathbb{Z}[i]$ 可用范数 $a^2+b^2$$a^2+b^2$。定义只要求存在某个 $q,r$$q,r$，不要求商余唯一；在 $\mathbb Z$$\mathbb{Z}$ 中不同余数约定仍可满足下降。所有欧几里得整环都是 PID，但存在 PID 不是欧几里得整环，所以逆命题不成立。仅有“可计算某种除法”而无良基下降，也不能推出算法终止。

推论与应用

欧几里得结构提供 gcd 算法、模逆、Bézout 恒等式和多项式因式分解的基础，并建立 ED⇒PID⇒UFD 的分解层级。

参考资料

• David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., Wiley, 2004，Ch. 8, Euclidean domains and Euclidean algorithm。
• Michael Artin, Algebra, 2nd ed., Pearson, 2011，Ch. 11, Euclidean rings and principal ideals。