形式陈述

若 $n_1+\cdots+n_k=n$$n_1+\cdots +n_k=n$ 且各 $n_i\ge0$$n_i\ge 0$，多项式系数为

$$ \binom{n}{n_1,\ldots,n_k}=\frac{n!}{n_1!\cdots n_k!}. $$$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n_1,\dots ,n_k})=\frac{n!}{n_1!\cdots n_k!}.$$

它计数把 $n$$n$ 个互异对象分入 $k$$k$ 个有标号组且第 $i$$i$ 组大小为 $n_i$$n_i$ 的方法，也是 $(x_1+\cdots+x_k)^n$$(x_1+\cdots +x_k{)}^n$ 中 $x_1^{n_1}\cdots x_k^{n_k}$$x_1^{n_1}\cdots x_k^{n_k}$ 的系数。

直觉

先排列所有对象，再忽略每个组内部的次序，因此除去各组内部的阶乘重复。

例子与边界

把 5 人分为大小 2、2、1 的三个有标号小组有 $5!/(2!2!1!)=30$$5!/(2!2!1!)=30$ 种。若小组无标号且大小重复，还要再除以交换同型组的对称因子。二项式系数是 $k=2$$k=2$ 的特例；当下标和不为 $n$$n$ 时通常定义系数为 0。

推论与应用

多项式系数用于多类别计数、多项分布、类型类大小和生成函数展开。

参考资料

• Eric Lehman, F. Thomson Leighton, and Albert R. Meyer, Mathematics for Computer Science, rev. 2018，Parts I–V。
• Kenneth H. Rosen, Discrete Mathematics and Its Applications, 8th ed., McGraw-Hill, 2019，Chs. 1–8。