阶乘

把 $n$ 个不同对象排进 $n$ 个有区别的位置。第一个位置有 $n$ 种选择，第二个有 $n-1$ 种，直到最后剩下一种；乘法原理理路乘法原理Product rule · Multiplication principle分阶段且每阶段选择数固定时，总数等于各阶段选择数之积。给出 $n!$。先固定首位、再排列余下对象，也直接解释了递推式。

空集合没有元素需要安排，但“不安排任何元素”仍是一种完整方案，所以空排列恰有一个。这个解释同时保证 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})=n!/(0!n!)=1$，并使多个独立安排相乘时，空部分不会改变方案总数。

四本不同的书排成一列有 $4!=24$ 种。若其中两本完全相同，可先暂时给它们贴上不同标签；每一种可见书列恰对应交换这两个标签的 $2!$ 种排列，所以共有 $4!/2!=12$ 种。若还要把旋转后的环形书列视为同一个对象，则等价关系再次改变，不能沿用直线排列的答案。

阶乘增长快于任意固定底数的指数：对 $c>0$，令 $a_n=n!/c^n$，有 $a_{n+1}/a_n=(n+1)/c$。当 $n$ 足够大，此比值至少为 $2$，于是 $a_n\to \mathrm{\infty }$。另一方面 $n!/n^n=\prod _{j=1}^n(j/n)\le 2^{-\lfloor n/2\rfloor }$，因此 $n!=o(n^n)$。这两个比较都有明确的比值含义。

更精确的 Stirling 公式是

其中 $\sim$ 表示两边之比趋于 $1$，不是每个 $n$ 上的等号。取对数得到 $\log (n!)=n\log n-n+\frac{1}{2}\log \left(2\pi n\right)+o(1)$，适合估计排列数所需的存储位数。

有限乘积定义的定义域是非负整数。若试图把递推强行延伸到 $n=0$，会要求 $1=0!=0\cdot (-1)!$，不可能用有限数值解决。Gamma函数理路Gamma 函数：递推、延拓与极点Gamma function · 伽马函数 · Euler gamma function从Euler积分的收敛半平面构造Gamma函数，证明递推与阶乘取值，逐步延拓并计算非正整数极点和可核验的截断界。可在更大定义域延拓阶乘，满足 $\mathrm{\Gamma }(n+1)=n!$，但并不为负整数阶乘提供有限值。 正实延拓若还要求对数凸性，Bohr–Mollerup定理理路Bohr–Mollerup 定理：阶乘延拓的唯一性Bohr–Mollerup theorem · Bohr-Mollerup theorem以正性、阶乘递推、归一化和对数凸性唯一刻画Gamma函数，用相邻整数的弦斜率给出可计算夹逼，并排除周期扰动。给出唯一性；只有整数值和递推关系时仍能插入周期因子。

全排列理路排列Permutation有限集合到自身的双射，或其元素的有序排列。的数量和有限对称群的阶都是 $n!$。多项式系数理路多项式系数Multinomial coefficient把 n 个可区分对象分入若干有标号组时的计数系数 n!/(n1!⋯nk!)。用阶乘除去同类副本的内部顺序；指数生成函数以 $x^n/n!$ 记录标号结构，使乘法自动带入标号分配的组合因子。

实际计算 $n!/(n-k)!$ 时可直接使用 $k$ 个连续因子的乘积，避免先生成两个巨大阶乘。若只要增长量级，则使用对数求和或 Stirling 近似即可，但精确整数计数不能用近似值替代。