阶乘

阶乘累计的是依次填充 $n$ 个互异位置时不断减少的选择数。它同时是全排列数、对称群大小和许多“忘记顺序”计数中的纤维大小，因此频繁出现在分母。递推 $n!=n(n-1)!$ 反映先决定一个位置后，剩余问题与原问题同型。

$4!=24$，而空集合只有一个空排列，所以 $0!=1$。Stirling 公式 $n!\sim \sqrt{2\pi n}(n/e{)}^n$ 给出精确渐近。阶乘只对非负整数按此有限乘积定义；把负整数代入递推会遇到除零，Gamma 函数也在非正整数处有极点。

四本不同书排成一列有 $4!=24$ 种。若其中两本完全相同，简单写 $4!$ 会重复计数，应除以 $2!$ 得 $12$。约定 $0!=1$ 使空集的唯一空排列、乘法空积以及 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})=n!/(0!n!)$ 同时一致；它不是由“零乘任何数为零”决定，因为阶乘不是从零开始的连乘。

自然数公理库自然数模型Natural numbers · Peano system由零元、后继和二阶归纳原则范畴性刻画的离散数系模型。上的有限乘积与递推定义阶乘；乘法原理公理库乘法原理Product rule · Multiplication principle分阶段且每阶段选择数固定时，总数等于各阶段选择数之积。说明它为何计数逐位选择形成的排列，排列公理库排列Permutation有限集合到自身的双射，或其元素的有序排列。则给出基本组合解释。组合、多项式系数公理库多项式系数Multinomial coefficient把 n 个可区分对象分入若干有标号组时的计数系数 n!/(n1!⋯nk!)。和指数生成函数都用它校正顺序或标号；渐近分析中 Stirling 公式再把快速增长转成可处理的对数主项。