形式陈述

对自然数 $n$$n$，阶乘定义为 $n!=1\cdot2\cdots n$$n!=1\cdot 2\cdots n$，并约定 $0!=1$$0!=1$，从而递推式 $n!=n(n-1)!$$n!=n(n-1)!$ 对 $n\ge1$$n\ge 1$ 成立。$n!$$n!$ 计数 $n$$n$ 个互异对象的全排列，也出现在组合系数、Gamma 函数和渐近分析中。其增长快于任意固定底数指数 $c^n$$c^n$，但慢于 $n^n$$n^n$。

直觉

排列第一个位置有 $n$$n$ 种选择，随后依次减少一个选择，乘法原理给出阶乘。

例子与边界

$4!=24$$4!=24$，而空集合只有一个空排列，所以 $0!=1$$0!=1$。Stirling 公式 $n!\sim\sqrt{2\pi n}(n/e)^n$$n!\sim \sqrt{2\pi n}(n/e{)}^n$ 给出精确渐近。阶乘只对非负整数按此有限乘积定义；把负整数代入递推会遇到除零，Gamma 函数也在非正整数处有极点。

推论与应用

阶乘用于排列、二项式和多项式系数、概率分布、算法搜索空间以及渐近复杂度估计。

参考资料

• Eric Lehman, F. Thomson Leighton, and Albert R. Meyer, Mathematics for Computer Science, rev. 2018，Parts I–V。
• Kenneth H. Rosen, Discrete Mathematics and Its Applications, 8th ed., McGraw-Hill, 2019，Chs. 1–8。