乘法原理

当一个结果由若干阶段的选择唯一确定，且每个前缀下下一阶段可选数固定时，总数等于各阶段选择数相乘。它本质上是在数笛卡尔积；若后续选择数依赖先前结果，则应按分支求和，而不能盲目乘固定数字。唯一表示条件防止同一最终对象经多条选择路径重复出现。

两位字母加三位数字的编码在允许重复时有 ${26}^2\cdot {10}^3$ 种。即使禁止重复，只要每层剩余选择数对所有合法前缀都相同，仍可用 $26\cdot 25\cdot 10\cdot 9\cdot 8$。若后续选择数依赖具体前缀且不恒定，必须分情形求和。

三件上衣、四条裤子组成穿搭共有 $3\cdot 4=12$ 种。长度为 $n$ 的二进制串有 $2^n$ 种，因为每个位置独立二选一。若要求字符串恰含两个 1，各位置选择不再独立地保持两个选项，直接写 $2^n$ 会数入非法串，应改用 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})$。

笛卡尔积公理库笛卡尔积Cartesian product · Direct product of sets由各坐标分别取值形成的有序元组集合；二元情形记作 A×B。的基数公理库基数Cardinality · Size of a set忽略元素性质与排列，只用双射和单射刻画集合的大小及其比较。给出有限集公理库有限集Finite set与某个自然数初始段等势、因而能够在有限步内无遗漏编号的集合。上的乘法原理，与加法原理共同分解计数树。阶乘公理库阶乘Factorial前 n 个正整数的乘积 n!，并约定 0!=1。来自逐位置减少选择，多项式系数公理库多项式系数Multinomial coefficient把 n 个可区分对象分入若干有标号组时的计数系数 n!/(n1!⋯nk!)。则在分阶段选择后忘掉组内顺序。算法搜索空间和概率独立试验也常先由乘法规则确定样本数。