复可微性

实变量只能从左右两侧逼近一点，复平面上却有无穷多个逼近方向，"同一差商极限"因此是极强的约束。它的几何含义是：局部线性近似必须是"乘一个复数公理库复数Complex number形如 a+bi 的数，按坐标规则构成实数域的二次扩张。"，也就是一个旋转加伸缩——不允许沿不同方向拉伸比例不同，更不允许翻转定向。这解释了为什么复可微函数在导数非零处保角：小图形被近似地旋转缩放，角度不变。与实可微的类比在这里失效：实可微只要求存在某个 $2\times 2$ 矩阵作线性近似，复可微还要求这个矩阵恰好具有旋转伸缩的形状，Cauchy–Riemann 方程正是把"任意矩阵"削成"复数乘法"的那两条等式。

复可微要求差商在复平面所有方向趋近时得到同一极限，比实函数的一维可微强得多。乘以复数的线性近似必须同时兼容旋转与缩放，迫使实部、虚部满足 Cauchy–Riemann 关系。局部复可微一旦在开集成立，会自动获得任意阶可微和幂级数展开。

$f(z)=z^2$ 处处复可微：差商 $\frac{(z_0+h{)}^2-z_0^2}{h}=2z_0+h\to 2z_0$，与方向无关。反面标准例是共轭 $f(z)=\overline{z}$：差商 $\overline{h}/h$ 沿实轴恒为 $1$、沿虚轴恒为 $-1$，故它在任何点都不复可微——尽管作为 ${\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ 的映射它是处处光滑的线性映射。

单点复可微远弱于全纯。$f(z)=|z{|}^2=z\overline{z}$ 只在 $z_0=0$ 复可微（差商 ${\overline{z}}_0+z_0\overline{h}/h+\overline{h}$ 仅当 $z_0=0$ 时有极限），在其余点都不可微，因此它在任何开集上都不全纯。另一个边界是 Cauchy–Riemann 方程仅在孤立一点成立并不足以推出该点复可微：存在偏导数在原点存在且满足 CR 方程、但差商极限依方向而变的函数（如 $z\mapsto z^5/|z{|}^4$，补定义 $f(0)=0$）。正确的充分条件是：在一点实可微且该点满足 CR 方程；或偏导数在邻域内连续且满足 CR 方程。

函数 $f(z)=\mathrm{Re}z$ 作为 ${\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ 的映射处处光滑，却在任何点都不复可微。其增量差商沿实方向为

沿纯虚方向则为 $0$，两个方向极限不同。这个例子把复可微的关键约束直接显露出来：实微分必须是“乘某个复数”的线性映射，而不能只在实坐标意义下可微。单点复可微也不等于在邻域全纯，后者要求开集上的逐点条件。

在开集上逐点成立的复可微性就是全纯性公理库全纯函数Holomorphic function · Analytic function在复平面开集的每一点都复可微的函数。，而全纯是复分析全部刚性现象的入口：由 Cauchy 积分定理与积分公式公理库Cauchy 积分定理与公式Cauchy integral theorem · Cauchy integral formula全纯函数在可缩闭路上的积分为零，并可由边界积分重建内部值与所有导数。，全纯函数自动无穷次复可微并局部展开为幂级数公理库解析幂级数Power series · Analytic power series在实数或复数中按收敛半径定义函数的幂级数。，这与实可微函数可以仅可微一次形成鲜明对比。导数非零处的保角性使复可微性成为保角映射与流体、静电位势问题的数学基础；Cauchy–Riemann 方程还蕴含 $u,v$ 都是调和函数，把复分析与位势理论连接起来。与实的可微性公理库Fréchet 可微性Differentiability · Fréchet differentiability赋范空间之间的映射在一点能被单一有界线性主部一致逼近的性质。相比，复可微是"同一定义、强得多的后果"的典型样本。

Cauchy–Riemann 方程公理库Cauchy–Riemann 方程Cauchy–Riemann equations把复可微性转化为实部和虚部偏导之间的兼容条件。连接实偏导与复导数，全纯函数是在开集处处复可微的函数。Cauchy 积分公式、解析延拓、留数与共形映射都从这一强刚性出发。