形式陈述

函数 $f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ 在 $z_0$ 复可微，若极限

$$f^{\prime }(z_0)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}$$

存在且与复方向无关。写 $f=u+iv$，在适当实可微条件下等价于 Cauchy–Riemann 方程 $u_x=v_y,u_y=-v_x$。一点复可微远弱于在邻域全纯；CR 方程在一点成立也不总足够。

直觉

实函数只从左右逼近，复平面有无穷方向；同一差商极限要求局部线性近似必须是“乘一个复数”的旋转伸缩。

例子与边界

$f(z)=z^2$ 处处复可微，导数 $2z$；$f(z)=\overline{z}$ 沿实轴差商为 1、沿虚轴为 -1，故 nowhere 复可微。实可微加邻域内 CR 方程可推出全纯，单点 CR 不能。

推论与应用

复可微性是全纯函数、Cauchy 理论、保角映射和解析函数刚性的入口。

参考资料

• Elias M. Stein and Rami Shakarchi, Complex Analysis, Princeton University Press, 2003，Chs. 1–3。
• John B. Conway, Functions of One Complex Variable I, 2nd ed., Springer, 1978，Chs. II–VI。