形式陈述

若 $f$ 在闭曲线 $\gamma$ 及其内部除有限个孤立奇点 $a_k$ 外全纯，且曲线不穿过奇点，则

$${\int }_{\gamma }f(z)dz=2\pi i\sum _{k}n(\gamma ,a_k)\mathrm{Res}(f,a_k).$$

留数是 $f$ 在奇点 Laurent 展开中 $(z-a_k{)}^{-1}$ 的系数。

直觉

闭路积分只看见每个奇点的一阶主部；Laurent 展开的其他整数幂绕一圈后贡献为零。

例子与边界

简单极点可用 $\underset{z\to a}{lim}(z-a)f(z)$ 计算。曲线穿过奇点、奇点非孤立或奇点在区域内聚集时，不能直接套用有限求和公式。

推论与应用

它把全局积分化为局部代数计算，并用于实积分、级数、逆变换和渐近估计。

参考资料

• Juan Carlos Ponce Campuzano, Complex Analysis: A Visual and Interactive Introduction (2026), residue calculus.
• Elias M. Stein, Rami Shakarchi, Complex Analysis (2003), residue theorem.