完备统计量

形式陈述 ​

设统计量 $T$ 在 $P_{\theta }$ 下诱导分布族 $\{Q_{\theta }:\theta \in \mathrm{\Theta }\}$。若对任意可测函数 $g$，只要

$${\mathbb{E}}_{\theta }[|g(T)|]<\mathrm{\infty }\text{且}{\mathbb{E}}_{\theta }[g(T)]=0\text{对所有 }\theta \in \mathrm{\Theta },$$

就必有

$$P_{\theta }(g(T)=0)=1\text{对所有 }\theta \in \mathrm{\Theta },$$

则称 $T$ 对该模型完备。量词顺序至关重要：同一个 $g$ 必须在整个参数空间上期望为零，才能推出它在整个分布族下几乎处处为零。

有界完备只对所有有界 $g$ 要求该性质，比通常完备弱。完备性属于 $T$ 的分布族，而不是单次观察值，也不是“统计量包含全部样本信息”的日常语言。

直觉 ​

把 $g(T)$ 看成一个对所有参数都无偏估计零的规则。完备性说不存在隐藏的非零零估计量，因此两个基于 $T$ 的无偏估计若目标相同，它们的差必须几乎处处为零。这是一种无偏表示的唯一性条件。

充分性公理库充分统计量Sufficient statistic给定该统计量后，样本剩余条件分布不再依赖未知参数的数据压缩。关注是否丢失参数信息，完备性关注分布族是否足以区分 $T$ 的所有可积函数。两者逻辑独立，只有结合时才产生强有力的唯一最优结论。

例子与证明 ​

令 $X_1,\dots ,X_n$ 独立 Poisson$(\lambda )$，$\lambda >0$，则 $T=\sum _i{X}_i\sim \mathrm{Poisson}(n\lambda )$。若 $g$ 可积且对所有 $\lambda >0$ 有

$$0={\mathbb{E}}_{\lambda }[g(T)]=e^{-n\lambda }\sum _{t=0}^{\mathrm{\infty }}g(t)\frac{(n\lambda {)}^t}{t!},$$

乘以 $e^{n\lambda }$ 得到一个在正半轴恒为零的幂级数。解析函数唯一性迫使每个系数 $g(t)/t!$ 为零，因此 $g(t)=0$ 对所有 $t$，$T$ 完备。

同一 $T$ 也由因子分解定理充分。若两个基于 $T$ 的可积估计量 $a(T),b(T)$ 都对 $\tau (\lambda )$ 无偏，则

$${\mathbb{E}}_{\lambda }[a(T)-b(T)]=0$$

对所有 $\lambda$ 成立，完备性给出 $a(T)=b(T)$ 几乎处处。

这个唯一性可形成实际计算。Poisson 模型中 $\mathbf{1}\{T=0\}$ 的期望是 $e^{-n\lambda }$，所以它无偏估计该目标。若另一个基于 $T$ 的函数也对所有 $\lambda >0$ 无偏估计 $e^{-n\lambda }$，两者之差对全参数空间期望为零，完备性迫使它们相同；这比仅比较某个 $\lambda$ 的方差更强。

边界与失败情形 ​

若参数空间太小，完备性容易失败。设 $X\sim N(\mu ,1)$ 但 $\mu$ 只允许 $\{-1,1\}$。函数空间无限维，而“在两个分布下期望为零”只给两个线性约束，通常存在非零有界函数同时满足；连续全位置族的某些完备性质不能缩到两点参数集后照搬。

“对所有参数”也不能替换为对稠密子集成立，除非期望作为参数函数具有连续或解析延拓等附加性质。Poisson 证明能这样延拓，是因为幂级数解析；一般模型没有这个自动通道。

Bernoulli 样本的成功次数也给出有限支持正例：若 $S\sim \mathrm{Binomial}(n,p)$ 且 ${\mathbb{E}}_p[g(S)]=0$ 对全部 $0<p<1$ 成立，则 $\sum _{s=0}^{n}g(s)(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{s})p^s(1-p{)}^{n-s}$ 是恒零多项式，Bernstein 基线性无关迫使每个 $g(s)=0$。有限支持不妨碍完备，关键是参数族提供足够多约束。

对称模型中也可构造零期望函数。例如 $X\sim N(0,{\sigma }^2)$、$\sigma >0$，取奇函数 $g(X)=X$，对所有 $\sigma$ 都有期望零但并非几乎处处为零，所以 $X$ 对尺度族不完备。

完备不等于充分。即使某统计量的边缘族完备，它仍可能遗漏样本中关于参数的其他信息；反之，最小充分统计量也可能不完备。

必须保留可积性。若 ${\mathbb{E}}_{\theta }[g(T)]$ 根本不存在，“等于零”没有定义，不能把条件扩展到任意病态函数。

推论与应用 ​

Lehmann–Scheffé 定理指出：若 $T$ 完备且充分，任何基于 $T$ 的无偏估计量都是目标的唯一一致最小方差无偏估计。充分性经 Rao–Blackwell 消除无关随机性，完备性再保证候选唯一。

满秩自然指数族在自然参数空间含非空开集时，常由 Laplace 变换唯一性得到自然统计量的完备性；curved 子族则可能失去这一性质。

参考资料

• Erich L. Lehmann and George Casella, Theory of Point Estimation, 2nd ed., Springer, 1998，§1.7。
• George Casella and Roger L. Berger, Statistical Inference, 2nd ed., Duxbury, 2002，§6.2.4。
• A. M. Kagan, Yu. V. Linnik, and C. R. Rao, Characterization Problems in Mathematical Statistics, Wiley, 1973，完备族章节。