完备统计量

把映射 $g\mapsto \{E_{\theta }g(T):\theta \in \mathrm{\Theta }\}$ 看成一台把函数送到整条期望曲线的机器。完备性说这台机器的核只有零函数：没有一个非平凡 $g(T)$ 能在全参数空间伪装成无偏估计零。于是同一目标若有两个基于 $T$ 的无偏表达，它们只能在模型看来相同。

充分性理路充分统计量Sufficient statistic以参数无关的条件分布保留整个模型区分能力的数据压缩，并连接因子分解与决策等价。沿“从完整样本压缩到 $T$”发问，完备性沿“从 $T$ 的函数映到全族期望”发问。一项处理信息保留，另一项处理无偏表示唯一性；两者逻辑独立，统计量也完全可能只满足其中一项。

Poisson 完备性证明 ​

令独立事故计数 $X_i\sim \mathrm{Poisson}(\lambda )$，$\lambda >0$，则 $T=\sum _i{X}_i\sim \mathrm{Poisson}(n\lambda )$。若 $g(T)$ 对每个 $\lambda$ 可积，且其期望恒为零，便有

乘以 $e^{n\lambda }$ 后，右侧成为关于 $a=n\lambda$ 的幂级数理路解析幂级数Power series · Analytic power series在实数或复数中按收敛半径定义函数的幂级数。。可积性保证它在每个 $a>0$ 绝对收敛；该解析函数在开区间上恒为零，唯一性迫使每个系数 $g(t)/t!$ 都为零。因此 $g(t)=0$ 对所有非负整数 $t$，$T$ 完备。

同一 $T$ 也由因子分解定理充分。若两个基于 $T$ 的可积估计量 $a(T),b(T)$ 都对 $\tau (\lambda )$ 无偏，则

对所有 $\lambda >0$ 成立，完备性给出 $a(T)=b(T)$ 在每个 Poisson$(n\lambda )$ 下几乎处处成立。

例如 $\mathbf{1}\{T=0\}$ 的期望为 $e^{-n\lambda }$，所以它无偏估计“总观察期内零事故”的概率。任何另一个基于 $T$、对所有 $\lambda >0$ 无偏估计同一目标的函数，都必须与这个指示函数相同。这个结论来自整条期望曲线，不靠选取某个参数点比较方差。

边界与失败情形 ​

参数空间过小会减少约束。设 $X\sim N(\mu ,1)$，但 $\mu$ 只允许 $\{-1,1\}$。所有有界函数形成无限维空间，而在两个分布下期望为零只给两个线性约束，存在大量非零函数满足它们；从连续全位置族得到的完备结论不能在截成两点后照搬。

全参数零均值也不能随意换成“在稠密子集上为零”。只有当 $\theta \mapsto E_{\theta }g(T)$ 已证明连续、解析或具有相应唯一延拓性质时，稠密集信息才可能足够；Poisson 证明使用的正是额外解析结构。

有限支持同样可以完备。若 $S\sim \mathrm{Binomial}(n,p)$ 且 $E_p[g(S)]=0$ 对全部 $0<p<1$ 成立，则

是恒零多项式；Bernstein 基的线性无关迫使每个 $g(s)=0$。支撑点数量有限并不构成障碍，关键在于参数族给出的期望约束是否足够丰富。

对称性常制造反例。若 $X\sim N(0,{\sigma }^2)$、$\sigma >0$，取 $g(X)=X$；它对每个尺度的期望都为零，却不在任何非退化正态分布下几乎处处为零。因此完整观测 $X$ 对这个尺度族也不完备，说明“保留全部数据”与完备毫无必然联系。

完备不会补回被统计量遗漏的模型信息；充分乃至最小充分也不会自动排除全参数零均值函数。把二者合写成“完备充分”时，仍应保留两份独立证明。

可积性不可删除。若正负部分期望都为无穷，$E_{\theta }g(T)$ 没有定义，写成零只是未定义量的形式运算；完备性从未声称约束这类病态函数。

Lehmann–Scheffé 定理理路Lehmann–Scheffé 定理Lehmann–Scheffé theorem完备充分统计量上的二阶可积无偏函数，在全参数空间同时成为唯一最小方差无偏估计。把两条性质接成严格链条：充分性让Rao–Blackwell 条件化理路Rao–Blackwell 定理Rao–Blackwell theorem借充分统计量上的条件期望消除参数无关随机性，并以 Jensen 不等式逐参数降低凸损失风险。把任意无偏估计投影到 $T$ 上，完备性再迫使所有基于 $T$ 的无偏表达相同，于是得到唯一 UMVU。

满秩自然指数族理路统计指数族Exponential family · Exponential family in natural parameters密度的参数依赖通过自然参数与统计量内积进入，并由对数配分函数归一化的分布族。若自然参数空间含非空开集，常可由 Laplace 变换唯一性证明自然统计量完备。curved 子族或严重受限的参数空间只沿较低维集合改变分布，可能失去这组足够丰富的约束，必须重新验证。