Basu 定理

定理把三种不同性质接成一条链：充分性让给定 $T$ 的条件分布摆脱参数，辅助性让目标事件的边际概率对参数恒定，完备性再把“对所有参数期望为零”提升成“函数本身几乎处处为零”。缺少任何一环，都只能得到较弱的平均恒等式。

证明骨架 ​

对任意可测集 $C$，令

充分性允许选择不含 $\theta$ 的条件分布版本。由全期望公式理路全期望公式与全方差公式Law of total expectation · Law of total variance · Iterated expectation借助条件信息分解总体均值，并把总波动拆成组内与组间两部分。与辅助性，

对所有参数成立，于是完备性迫使 $g_C(T)=Q(C)$ 几乎处处。这恰是对每个 $\theta$ 都有

最后对任意 $B$，把上式乘以 $\mathbf{1}\{T\in B\}$ 再取期望，得到 $P_{\theta }(T\in B,A\in C)=Q(C)P_{\theta }(T\in B)$。因此证明真正需要的是同一个不含参数的函数 $g_C$，而不是为每个参数分别找一个恰好有正确期望的函数。

若 $n\ge 2$ 且 $X_1,\dots ,X_n$ 独立同分布于 $N(\mu ,{\sigma }^2)$，其中 ${\sigma }^2$ 固定已知，则 $\overline{X}$ 对 $\mu$ 完备充分。残差方向

在非零残差事件上不依赖 $\mu$，并可在零残差事件上指定固定值使其处处定义。由 Basu 定理，$U$ 与 $\overline{X}$ 独立。它保留样本形状，而 $\overline{X}$ 汇总位置证据。

在同一个固定 ${\sigma }^2$ 的正态位置模型中，样本方差的分布不依赖 $\mu$，因而它是关于 $\mu$ 的辅助量；Basu 定理于是给出样本均值与样本方差独立。若把模型扩大为 $\mu ,{\sigma }^2$ 都未知的位置—尺度族，样本方差不再对完整参数辅助，$\overline{X}$ 也不再是完整参数的充分统计量。不能把二者直接代入两参数模型的定理。

不过，一参数论证仍能完成证明：任取固定的 ${\sigma }^2>0$，在该位置子族中应用 Basu；由于这个固定值任意，独立性便对每个 $(\mu ,{\sigma }^2)$ 成立。证明时固定一个参数值，不等于分析者必须知道它。正态向量的正交分解是另一条证明，而不是唯一的补救办法。

边界与反用限制 ​

只充分而不完备时，条件概率虽可消去参数，却不能从期望恒等推出几乎处处常数。具体取两个独立的 $U(\theta ,\theta +1)$ 观测，$T=(X_{(1)},X_{(2)})$ 是充分统计量，极差 $A=X_{(2)}-X_{(1)}$ 则辅助且是 $T$ 的函数。若二者独立，事件 $\{A\le 1/2\}$ 就须与自身独立，故其概率只能为零或一；实际概率为 $3/4$。这里失败的是完备性：$E_{\theta }A=1/3$，而非零函数 $A-1/3$ 对所有参数的期望均为零。

只完备而不充分也不够，因为无法获得参数无关的条件分布版本；定理的两个条件不能互相替代。

缩小参数空间后，辅助性仍保留，完备性却可能失去；扩大参数空间则可能使辅助性失效。因此重新应用定理时要重查假设。不过，若已在大模型中证明逐参数独立性，这个结论当然也对它的任何子模型成立。位置族中极差虽然辅助，却不保证与样本均值独立；非正态位置族的均值通常不是完备充分统计量。

Basu 定理也不声称辅助量“无用”，不选择唯一的条件原则，更不说明条件化必然改善区间。它只给完备充分量与精确辅助量的独立性。近似辅助量、估计后残差或只有某个矩无参数的统计量，都不能直接套用定理。

定理解释为何可把参数证据集中在完备充分统计量中，同时用独立辅助量检查样本形状或固定实验精度。条件推断中，可先固定辅助量，再比较 $T$ 的条件分布；模型检查中，辅助量的参数无关分布允许直接校准异常。

在位置—尺度模型里，样本经平移、正缩放后的最大不变量（保持平移与正缩放后不变、且区分不同变换轨道的统计量）往往辅助，而最小充分统计量压缩参数证据。两者都可能降维，却沿不同群轨道工作；只有满足定理全部条件时，才能进一步断言独立。