定义Definition

条件分布

施工中 · 内容逐步修订

Conditional distribution · Regular conditional distribution

给定观测值后随机量的概率律，以及它与原联合分布相容的核表示。

形式陈述

离散情形中的条件分布直接由条件概率给出：只要 $\Pr(Y=y)>0$ ，

\Pr(X=x\mid Y=y)=\frac{\Pr(X=x,Y=y)}{\Pr(Y=y)}.

若 $(X,Y)$ 有联合密度且 $f_Y(y)>0$ ，则条件密度在相应的几乎处处意义下为

f_{X\mid Y}(x\mid y)=\frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)}.

一般地，设 $X$ 取值于 $(S,\mathcal S)$ ， $Y$ 取值于 $(T,\mathcal T)$ 。给定 $Y$ 的正则条件分布是从 $T$ 到 $S$ 的概率核 $K$ ，满足对所有 $A\in\mathcal S,B\in\mathcal T$ ，

\mathbb P(X\in A,Y\in B)=\int_B K(y,A)\,\mathbb P_Y(dy).

常写 $K(y,A)=\Pr(X\in A\mid Y=y)$ 。核的两个参数承担不同职责：固定 $y$ 后， $A\mapsto K(y,A)$ 必须是一份概率分布；固定 $A$ 后， $y\mapsto K(y,A)$ 必须可测，才能放进右侧积分。在标准 Borel 空间等常用条件下，这样的正则条件分布存在，且两个版本在同一个 $\mathbb P_Y$ -零测集之外作为概率测度相等。一般可测空间上既不能无条件保证存在，也不能无条件把对每个 $A$ 的几乎处处等式提升为一个共同例外集之外的核相等。

在二维阿基米德构造的Clayton例中， $K(u,v)=v^2/(u+v-uv)^2$ 是一份给定 $U=u$ 的条件CDF版本。它通过 $\int_a^bK(u,v)\,du=C(b,v)-C(a,v)$ 恢复联合事件；反解 $K(u,V)=Z$ 便得到精确条件采样接口。该积分验证使用本页的核相容性，没有把零概率事件当成初等比值。

直觉

条件分布不是把一个可能为零的事件概率硬塞进分母，而是为每个可观察输入 $y$ 配一份关于 $X$ 的分布，并要求把这些局部分布按 $Y$ 的边缘律混合后，恰好重建原联合分布。积分恒等式负责“相容”，核的可测性负责“可以混合”；零测集上的逐点值不影响任何积分，因此没有天然唯一答案。

例子与边界

离散例子中，令 $X$ 为公平比特，给定 $X$ 后，信道以概率 $0.9$ 正确输出 $Y=X$ 、以概率 $0.1$ 翻转。由对称性 $\Pr(Y=1)=1/2$ ，Bayes 计算给出 $\Pr(X=1\mid Y=1)=0.9$ 。连续例子取三角形 $0<x<y<1$ 上的联合密度 $f_{X,Y}(x,y)=2$ 。此时 $f_Y(y)=2y$ ，故 $X\mid Y=y$ 的条件密度为 $1/y$ （ $0<x<y$ ）：观测到 $y$ 后， $X$ 在 $(0,y)$ 上均匀，而把它按 $f_Y$ 混合会恢复原三角形密度。

若 $Y$ 连续，则通常 $\Pr(Y=y)=0$ ，初等比值没有定义；上面的核版本仍可存在。即便存在，改变某个零概率 $y$ 处的 $K(y,\cdot)$ 也不会改变联合分布，所以不能把该点的数值当作由模型唯一决定。更一般的可测空间中正则版本甚至可能不存在，故“总能对每个 $y$ 写出条件分布”需要空间假设。

推论与应用

对可积函数 $g$ ，核给出条件平均 $\int g(x)K(y,dx)$ ，连接到条件期望；对 $Y$ 再积分得到全期望公式。Bayes 定理在有密度或离散质量时重新加权该核，Markov 链的一步条件律和离散无记忆信道也都是同一结构。联合分布决定条件分布的几乎处处等价类，而条件核加上 $Y$ 的边缘分布又能通过积分重建联合分布。

条件随机化检验直接使用已知的协变量条件核：给定其余变量和响应，在条件独立零假设下，原列与按该核重抽样的列具有同样的参考地位。若再固定列总数，必须把原乘积核限制到该事件并重新归一化；行间独立性可能消失，有限轨道也未必均匀。

抽样或条件化的方式会改变看到的分布。检查悖论比较随机选周期与随机选时刻产生的长度偏倚；Gibbs 条件化原理则研究已知全样本满足稀有约束后，固定少量坐标趋向哪个条件规律。

参考资料

MIT OpenCourseWare, 6.436J Fundamentals of Probability: Lecture Notes, conditional distributions and regular conditional probabilities, accessed 2026.
Olav Kallenberg, Foundations of Modern Probability, 3rd ed., Springer, 2021, Ch. 8, conditioning and disintegration.
Patrick Billingsley, Probability and Measure, 3rd ed., Wiley, 1995, sections on conditional probabilities and distributions.

关系图谱72 个相邻概念 · 2 类关系

正在载入交互图谱…

前置三跳
前置二跳
前置一跳
当前条目
后续一跳
后续二跳
后续三跳

文字版关系按与当前条目的最短距离分组

类型化关系

使用的工具

条件概率定义

被这些条目使用

Lee 选择界与分数截尾

“假定两组可见结果的绝对一阶矩有限。令$F$为$Y\mid D=1,S=1$的条件分布，$\mu 0=E(Y\mid D=0,S=1)$，保留比例为”

Bayes 定理

“$\mathbb P(B)=0$ 时，事件比值版 Bayes 定理没有定义。连续观测中的“$Y=y$”通常就是这种情形；若联合分布存在共同支配密度，可以在密度层写后验密度，但等式只在适当的几…”

全概率公式

“逐点函数 $y\mapsto\mathbb P(A\mid Y=y)$ 需要条件分布框架，并且通常只在 $\mu Y$ 几乎处处意义下确定。”

充分性的因子分解定理

“证明充分方向时，在纤维 $F t={x:T(x)=t}$ 内，参数因子 $g \theta(t)$ 对所有 $x$ 相同；构造给定 $T=t$ 的条件分布时，它在归一化分子与分母中约去，只留…”

Gibbs 采样器

“设目标分布 $\Pi$ 定义在乘积空间 $\mathcal X 1\times\cdots\times\mathcal X d$，状态写作 $x=(x 1,\ldots,x d)$。假设每个…”

切片采样

“对 $u$ 积分得到 $\pi(x)$。两个条件分布分别是”

粒子滤波器

“且给定状态后观测条件独立。目标是观测 $y {0:t}$ 后的过滤分布 $p(dx t\mid y {0:t})$，或保留路径时的 $p(dx {0:t}\mid y {0:t})$。粒子滤…”

Model-X Knockoff 构造

“设一份总体观测为$(X,Y)$，$X=(X 1,\ldots,X p)\in\mathbb R^p$，$Y$取值于标准Borel空间。协变量联合律$P X$已知，响应的条件分布$P {Y\m…”

条件随机化检验

“观测$n\ge1$份IID数据$(X i,Y i)$，其中$X i\in\mathbb R^p$，$Y i$取值于标准Borel空间。预先指定一个坐标$j$，已知真实条件协变量核”

分位数回归与 pinball 损失

“分位数回归要估计响应在给定输入下的位置，例如“同样输入条件下，九成响应不超过哪里”。它需要完整的条件分布，而不只需要条件均值。”

分层 Monte Carlo

“目标是 $\mu=Ef(X)$，其中 $X\sim P$，$Ef(X)^2 0$ 已精确知道，能从每层的条件分布 $P(\cdot\mid X\in A h)$ 抽样。令”

标签漂移与先验恢复

“某种产品的缺陷比例升高，但“合格品通常长什么样、缺陷品通常长什么样”保持不变。此时改变的是标签先验，适合考虑标签漂移。设源分布为 $P S$，目标为 $P T$，标签 $Y\in{0,1}$…”

Brownian 桥

“$P(W T=b)=0$，所以不能把普通事件条件概率的分子分母直接代入。正确对象是正则条件分布：把终点取值作为参数，给出路径的条件概率核。”

状态空间时间序列模型

“状态空间时间序列模型用隐藏状态过程 $(\alpha t)$ 生成观测 $(Y t)$。在标准 Borel 状态与观测空间上，给定初始分布 $\pi 0$、转移条件核 $K t(\alpha…”

有限 Ising 模型

“用离散条件分布的比值，分配函数与其他项消去，得到”

协变量漂移

“严格地，取标准 Borel 输入空间 $\mathcal X$ 与标签空间 $\mathcal Y$，以保证可以使用正则条件分布。设存在同一个概率核 $K$，使”

缺失数据机制

“数据缺失后，能否只分析留下的数值？先把“本来会有的数据”和“实际看到了什么”分开。设完整数据向量为 $Y$，数据模型为 $f \theta(y)$；掩码 $R$ 的第 $j$ 个分量为一表示…”

离散无记忆信道

“突发错误和相关隐状态衰落通常不满足简单乘积分解；强行用 DMC 会误估相关错误。反馈本身不把物理 DMC 变成有记忆信道，只是让输入依赖过去输出，因而需要前述因果表述。信道矩阵描述的是给定输…”

二维阿基米德 Copula

“这是一份 $V$ 给定 $U=u$ 的条件CDF版本，因为对任意 $0\le a<b\le1$，”

多元正态分布

“故一个正则条件分布版本为”

带边信息的零错误源编码

“这里只约束合法联合支持点。条件分布中 $P {X\mid Y}(x\mid y)=0$ 的组合，不是需要正确恢复的实际事件。”

Positivity 假设

“在潜在结果框架中，设观测总体的基线协变量分布为 $P X$，目标总体分布为 $P X^$。先要求 $P X^\ll P X$，再取二元处理条件分布的一个版本 $e(x)=P(A=1\mid…”

Bayesian 统计模型

“给定观测 $X=x$，参数的条件分布 $\Pi(d\theta\mid x)$ 称为后验分布。”

Bayes 预测器与 Bayes 风险

“给定 $(X,Y)\sim D$ 与损失函数，条件分布 $Y\mid X=x$ 决定动作 $a$ 的条件期望损失 $r(a\mid x)=\mathbb E[\ell(a,Y)\mid X=…”

正则条件概率

“给定随机元素 $Y$ 后的条件分布、Markov 过程的转移规律、Bayesian 后验以及隐藏变量模型中的 E 步，都可写成概率核。Disintegration 定理进一步把联合测度表示为…”

条件概率

“当 $\mathbb P(B)=0$ 时，初等比值没有定义。连续随机变量仍可在 $X=x$ 下条件化，只是单个零概率纤维上的条件值无法由 $0/0$ 比值决定。此时需要正则条件分布或条件期望…”

倾向分数

“令 $A=1$ 表示接受处理，$A=0$ 表示对照，$X$ 收集处理发生前测得的协变量。二元处理的倾向分数由给定 $X$ 的条件分布定义”

偏相关与精度矩阵

“若整个向量联合正态，残差与控制向量不相关便推出独立。Gaussian 条件分布中的协方差正好是上述残差协方差，不随控制值改变。因此”

率失真函数

“率失真函数把选择测试信道写成一个优化问题：遍历从源字母到重构字母的条件分布 $P {\widehat X\mid X}$，单字母率失真函数定义为”

联合分布

“条件分布把一个坐标固定为信息后，描述另一个坐标的剩余规律；条件期望则对这种剩余规律取平均。二者都以联合结构为输入：同样的边缘配上不同耦合，会产生不同条件规律。”

概率核（Markov 核）

“正则条件分布就是以观测值为输入的概率核，并通过积分恒等式与联合分布相容。一般状态Markov 链用从状态空间到自身的核描述一步转移，核复合给多步转移；信道则以输入符号为源、输出符号为目标，容…”

概率程序中的条件化与评分

“这与条件分布相连，但程序必须说明评分、拒绝及不终止分别如何处理。存在多种条件化语义，不能只写一个除法就认为所有模型相同。”

充分统计量

“在标准 Borel 空间中，正则条件分布保证上述核表述可用。核只在 $T$ 的边缘分布几乎处处意义下唯一；定义要求存在一个共同版本，而非先为每个 $\theta$ 任取版本、再在参数各自的零…”

形式陈述 ​

反向链接

形式陈述