切片采样

密度高的点之所以更常出现，是因为它们上方有更高的竖直柱，可容纳更多高度 $u$。先在当前柱内选择高度，再在该高度的横截面上均匀移动，长期看每个 $x$ 获得的扩展面积正比于 $\gamma (x)$。

步长 $w$ 不直接规定最终移动尺度，只决定寻找切片边界的起始尺子。$w$ 太小会多次向外扩展，太大则在收缩中反复击中切片外；两者主要改变成本。然而若人为限制扩展次数，参数也会限制可达距离，可能从效率问题变成遍历问题。

对三点未归一化目标 $\gamma (a,b,c)=(1,3,6)$，从 $X_t=b$ 开始。若本轮在 $(0,3)$ 抽得 $u=2.4$，则

在这个两点切片上均匀抽样，若离散均匀数落在后半区，就取 $X_{t+1}=c$。下一轮高度可在 $(0,6)$ 变化：当 $u>3$ 时切片只有 $\{c\}$，链留在高密度点；当 $u<1$ 时三点全可访问。各点被包含的高度长度分别是 $1,3,6$，所以边缘概率正比于目标权重，而不是正比于切片内点数。从 $b$ 转到 $c$ 的概率可直接积分：高度在 $(0,1)$ 的概率为 $1/3$，此时选 $c$ 的概率为 $1/3$；高度在 $(1,3)$ 的概率为 $2/3$，此时选 $c$ 的概率为 $1/2$，合计 $4/9$。反向从 $c$ 到 $b$ 的概率为 $2/9$，因此 $\pi (b)P(b,c)=(3/10)(4/9)=(6/10)(2/9)=\pi (c)P(c,b)$，与不变目标一致。

断裂支持需要结合搜索规则判断。例如目标只在 $[0,1]\cup [3,4]$ 上为正，且采用最大区间长度 $mw<2$ 的有限扩展规则，则任何候选区间都无法同时接触两个分量，链永远不能跨越空隙。仅凭“遇到切片外端点就停止”不能推出这一结论：较宽初始区间或较大扩展步可能直接跳过空隙。两个分量的任意混合仍可不变，但从单一分量出发的链不可约。必须使用能覆盖多个分量的全局区间、额外跨模态更新或分别估计分量质量；延长运行无法修复零转移概率。

无界或无限测度切片也破坏朴素条件抽样。例如不正规“目标” $\gamma (x)=1$ 定义在整条实线上时，$S_u=\mathbb{R}$ 没有均匀概率分布，这同时暴露原目标 $Z=\mathrm{\infty }$。对正规但极重尾目标，切片有限却可能极宽，使扩展成本与跳跃尺度具有重尾；应设置可报告的预算上限，而不是静默截断并假装仍从完整切片抽样。

切片构造把密度值转成随机等高集，适合归一化常数未知、局部尺度随位置变化而又能廉价评值的目标。它自动调整单步跨度的说法只在边界搜索正确且切片几何可处理时成立；多峰、强相关或高维薄壳仍可能让水平集合难以探索。

离散变量可直接枚举切片，单调或对数凹一维条件则可用解析边界减少评值。若把切片步骤嵌进 Gibbs 更新，每个坐标的扩展变量都属于相应条件目标，整体正确性来自条件核的复合。调参应同时报告每个有效样本的密度评值数、扩展次数和跨模态行为，不能只比较“接受率”，因为合规的 shrinkage 最终总会接受。