平稳分布

平稳分布不是“链已经停止移动”，而是概率质量在转移中保持整体形状：个体状态仍变化，流入与流出在分布层面平衡。它是转移算子的左特征向量 $\pi P=\pi$，对应特征值一。是否唯一取决于沟通类公理库沟通类与不可约性Communication classes · Irreducible Markov chain按正概率多步可达性分解 Markov 链状态空间，并刻画整个链是否互相可达。，是否能从任意初值逐时刻收敛还受常返性与周期性公理库常返、暂留与周期性Recurrence and transience · Periodicity of Markov chains用返回概率、返回时间与可返回步数刻画 Markov 链状态的长期类型。约束，这些结论都不包含在定义本身。

有限随机游走在无向连通图上的平稳分布满足 $\pi (v)=\mathrm{deg}(v)/(2|E|)$；正则图上因此均匀。含多个闭合类的链可有多个平稳分布；有瞬时状态的有限链仍可能有平稳分布，但不会给瞬时状态正质量。不可约性不保证一般可数链存在平稳概率：整数上的简单随机游走零常返但非正常返，只存在不可归一化不变测度。平稳不等于各时刻独立。

二状态链

满足 $\pi =(2/3,1/3)$，因为两状态间平衡流量都是 $1/15$。若 $P=I$，每个分布都平稳，展示平稳性不保证唯一。周期性交替链也有唯一平稳分布 $(1/2,1/2)$，但从单点初值出发的时刻分布不收敛。

Markov 链公理库Markov 链Markov chain未来条件分布在给定当前状态后与更早历史无关的随机过程。通过不变方程定义平稳分布，细致平衡公理库可逆链与细致平衡Reversible Markov chain · Detailed balance由相反方向概率流逐边平衡所刻画的 Markov 链时间反演对称性。提供一种足以推出平稳性的逐边流量条件，却不是平稳性的必要条件。遍历定理公理库马尔可夫链时间平均遍历定理Ergodic theorem for Markov chains不可约正常返 Markov 链的一条长轨道，其可积观测时间平均几乎必然趋于平稳平均。把 $\pi$ 解释为长期访问频率；要得到边缘分布本身的收敛，还需检查不可约、正常返与非周期性，并用混合时间公理库混合时间Mixing time · Markov chain mixing timeMarkov 链从最坏初态接近平稳分布到指定总变差精度所需的步数。量化有限步误差。PageRank、MCMC 与排队稳态都在求不变测度，但不能把“已有平稳分布”直接等同于“已经混合”。