形式陈述

对可数状态离散时间 Markov 链，转移矩阵为 $P=(p_{ij})$$P=(p_{ij})$。概率向量 $\pi$$\pi$ 称平稳分布，若

$$ \pi P=\pi, \qquad \pi_j\ge0, \qquad \sum_j\pi_j=1. $$$$\pi P=\pi ,{\pi }_j\ge 0,\sum _j{\pi }_j=1.$$

若 $X_0\sim\pi$$X_0\sim \pi$，则每个 $X_n$$X_n$ 都服从 $\pi$$\pi$，且整个过程在时间平移下具有相同有限维分布。有限不可约链存在唯一平稳分布；可数不可约链存在平稳概率分布当且仅当它正常返，此时同样唯一。

直觉

平稳分布是在一次转移后保持不变的概率质量配置：流入每个状态的总质量恰好补回流出的质量。

例子与边界

有限随机游走在无向连通图上的平稳分布满足 $\pi(v)=\deg(v)/(2|E|)$$\pi (v)=\mathrm{deg}(v)/(2|E|)$；正则图上因此均匀。含多个闭合类的链可有多个平稳分布；有瞬时状态的有限链仍可能有平稳分布，但不会给瞬时状态正质量。不可约性不保证一般可数链存在平稳概率：整数上的简单随机游走零常返但非正常返，只存在不可归一化不变测度。平稳不等于各时刻独立。

推论与应用

平稳分布描述 Markov 链长期占用比例，支撑 MCMC、PageRank、排队系统和遍历定理；详细平衡是验证平稳性的充分但非必要条件。

参考资料

• J. R. Norris, Markov Chains, Cambridge University Press, 1997，Chs. 1–2, invariant distributions and recurrence classification。
• Sheldon Ross, A First Course in Probability, 10th ed., Pearson, 2019，Ch. 9, stationary distributions of Markov chains。