平稳分布

平稳分布不是“链已经停止移动”，而是概率质量在转移中保持整体形状：个体状态仍变化，流入与流出在分布层面平衡。它是转移算子的左特征向量 $\pi P=\pi$，对应特征值一。是否唯一取决于沟通类理路沟通类与不可约性Communication classes · Irreducible Markov chain按正概率多步可达性分解 Markov 链状态空间，并刻画整个链是否互相可达。，是否能从任意初值逐时刻收敛还受常返性与周期性理路常返、暂留与周期性Recurrence and transience · Periodicity of Markov chains用返回概率、返回时间与可返回步数刻画 Markov 链状态的长期类型。约束，这些结论都不包含在定义本身。

对二状态链

把平衡与归一化条件写成有限线性方程组理路线性方程组System of linear equations可写为矩阵方程 Ax=b 的有限个一次方程系统。，由 $0.1{\pi }_1=0.2{\pi }_2$ 和 ${\pi }_1+{\pi }_2=1$ 得 $\pi =(2/3,1/3)$。两个方向的平衡流量均为 $1/15$。若 $a_n=\text{Pr}(X_n=1)$，递推为 $a_{n+1}=0.7a_n+0.2$，因而

这同时展示“不变分布”与“从给定初值趋近该分布”是两个不同结论。

对于交替链 $P=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$，唯一平稳分布仍为 $(1/2,1/2)$，但单点初值的分布永远交替，不能逐时刻收敛。即使以平稳分布初始化，相邻状态也完全相关，平稳不意味着独立。若 $P=I$，所有分布均平稳，说明唯一性同样不是定义附送的性质。

在至少有一条边的有限无向连通简单图上，随机游走均匀选择邻居，$\pi (v)=\mathrm{deg}(v)/(2|E|)$。每条有向边的平稳流量为 $1/(2|E|)$，所以流量相抵；正则图才因此得到均匀分布。

可数无限情形还要检查可归一化性：整数上的简单对称随机游走零常返，计数测度不变但总质量无穷，故没有平稳概率。有限链若有多个闭合不可约类，各类平稳分布的凸组合也平稳；暂留状态获得零质量。这样既能有多个平稳分布，也能同时存在暂留状态。

Markov 链理路Markov 链Markov chain未来条件分布在给定当前状态后与更早历史无关的随机过程。通过不变方程定义平稳分布，细致平衡理路可逆链与细致平衡Reversible Markov chain · Detailed balance由相反方向概率流逐边平衡所刻画的 Markov 链时间反演对称性。提供一种足以推出平稳性的逐边流量条件，却不是平稳性的必要条件。遍历定理理路马尔可夫链时间平均遍历定理Ergodic theorem for Markov chains不可约正常返 Markov 链的一条长轨道，其可积观测时间平均几乎必然趋于平稳平均。把 $\pi$ 解释为长期访问频率；要得到边缘分布本身的收敛，还需检查不可约、正常返与非周期性，并用混合时间理路混合时间Mixing time · Markov chain mixing timeMarkov 链从最坏初态接近平稳分布到指定总变差精度所需的步数。量化有限步误差。PageRank、MCMC 与排队稳态都在求不变测度，但不能把“已有平稳分布”直接等同于“已经混合”。

连续时间人数模型还要把停留时长计入平衡。生灭过程理路生灭过程Birth-death process把只发生相邻增减的连续时间链化为逐边平衡，并单独检查稳态级数是否可归一化。通过逐边速率递推得到相对权重，M/M/1 队列理路M/M/1 排队模型M/M/1 queue从单服务台的生灭速率推出几何稳态、负载条件与平均等待，区分队内和系统内指标。再用几何级数是否可归一化判定稳态存在。另一类平稳更新过程理路平稳更新过程Stationary renewal process · Equilibrium renewal process以长度偏倚的跨零周期和均匀相位构造平稳更新点过程，并区分点过程平稳与累计计数平稳。则通过平衡首次等待消除起点相位，平稳的是点过程窗口规律而非累计计数本身。

若需要一份严格服从有限目标的样本，从过去耦合理路从过去耦合Coupling from the past · CFTP · Propp–Wilson algorithm · 从过去开始的耦合固定观察时刻并不断补入更早的随机映射，重放同一后缀直到全部初态合并，从而生成精确平稳样本。在固定终点回放同一随机后缀，直到全部初态给出同一结果。还须证明所选共同随机映射几乎必然合并；有唯一平稳律或单链一步混合，都不能替任意映射构造提供这个保证。按完成时长筛选输出也可能改变分布。

离散代际的带移入分枝过程理路带移入的分枝过程Branching process with immigration · Galton–Watson process with immigration · 带移民的分枝过程在独立家系之外加入每代外部输入，按移入年代构造平稳分布，并用残留祖先的耦合给出收敛界。则按移入年代叠加独立家族。在次临界且移入均值有限时，期望尾和证明总人数有限；旧家系灭绝的耦合又给唯一性和有限代收敛界，不需要先假定所有状态互相可达。