马尔可夫链时间平均遍历定理

遍历性把“沿一条长轨道观察”与“按平稳分布在全体状态上平均”连接起来。不可约性保证轨道不会永久困在互不沟通的区域，正常返性保证回访周期有有限平均长度；这些条件共同让早期状态的影响在时间平均中被稀释。这里平均的是同一条路径上前 $n$ 步的观测，不是只看第 $n$ 步位于哪里。

有限不可约链自动正常返，所以时间平均总成立。二状态确定性交替链 $0\leftrightarrow 1$ 的平稳分布为 $(1/2,1/2)$，经验频率确实趋于一半，但从 $0$ 出发时 $X_n$ 的分布在两个点之间交替，说明分布收敛还需非周期性。整数上的简单对称随机游走不可约且常返，却是零常返，没有平稳概率分布，不能套用上述定理。结论是几乎必然的轨道平均，不等于各项 $f(X_n)$ 本身逐点收敛。

对有限连通无向图上的随机游走，取 $f(v)={\mathbf{1}}_{\{v=u\}}$，遍历定理给出访问顶点 $u$ 的长期频率为 $\mathrm{deg}(u)/(2|E|)$。二分图上的简单随机游走具有周期二，单步分布会在两侧来回振荡，但访问频率仍可收敛。这一区分解释了为什么 MCMC 常额外加入自环来消除周期性。

定理以Markov 链公理库Markov 链Markov chain未来条件分布在给定当前状态后与更早历史无关的随机过程。和平稳分布公理库平稳分布Stationary distribution经马尔可夫转移后保持不变的状态分布。为对象，是依赖样本版本的大数律公理库强大数定律Law of large numbers · Strong law of large numbers · SLLN独立同分布且可积时，样本均值沿几乎每条无限样本路径收敛到共同期望。。不可约性公理库沟通类与不可约性Communication classes · Irreducible Markov chain按正概率多步可达性分解 Markov 链状态空间，并刻画整个链是否互相可达。与正常返性公理库常返、暂留与周期性Recurrence and transience · Periodicity of Markov chains用返回概率、返回时间与可返回步数刻画 Markov 链状态的长期类型。保证时间平均的标准结论。MCMC 用轨道平均估计期望，而混合时间公理库混合时间Mixing time · Markov chain mixing timeMarkov 链从最坏初态接近平稳分布到指定总变差精度所需的步数。回答有限步边缘分布距离稳态还有多远，两者不能互相替代。

同一时间平均也能解释排队系统的长期利用率、随机游走的访问比例和 PageRank 型估计。若要给有限样本误差条带，还需进一步研究自相关、中心极限定理或浓缩界；遍历定理本身只给长期极限。