常返、暂留与周期性

形式陈述

对从状态 $x$ 出发的可数状态 Markov 链，定义首次正返回时间

T_x^+=\inf\{n\ge1:X_n=x\}.

约定 $\inf\varnothing=\infty$ 。若 $\mathbb P_x(T_x^+<\infty)=1$ ，称 $x$ 常返；若该概率小于 $1$ ，称 $x$ 暂留。常返等价于访问次数的期望无穷，即

\sum_{n=0}^{\infty}P^n(x,x)=\infty.

常返状态若还满足 $\mathbb E_x T_x^+<\infty$ ，称正常返；期望返回时间无限则称零常返。暂留、零常返与正常返是不同分类，不能把“最终会回来”和“平均多久回来”合并。

状态 $x$ 的周期定义为

d(x)=\gcd\{n\ge1:P^n(x,x)>0\}.

若正返回步数集合为空，本页约定 $d(x)=0$ ；若 $d(x)=1$ ，称 $x$ 非周期。彼此沟通的状态具有相同的常返类型和周期，因此可对整个沟通类谈这些性质。

访问次数判据可直接看出。令 $r=\mathbb P_x(T_x^+<\infty)$ ，并把起点也计入 $N_x=\sum_{n\ge0}\mathbf1_{\{X_n=x\}}$ 。在第 $k$ 次返回发生于某个确定时刻的事件上，Markov 性让此后的返回概率重新等于 $r$ ；对这些互斥时刻求和，得到 $\mathbb P_x(N_x\ge k)=r^{k-1}$ 。期望的非负求和与尾和公式于是给出

\sum_{n\ge0}P^n(x,x)=\mathbb E_xN_x =\sum_{k\ge1}r^{k-1},

在 $r<1$ 时等于 $1/(1-r)$ ，在 $r=1$ 时无穷。

直觉

常返性问的是概率质量会不会永久逃离：从 $x$ 离开后，是否最终必然再次见到它。正常返再追问一次往返平均要多久。周期性关心另一件事——返回可能发生在哪些时刻；即使一定回来，若只能在偶数步返回，时刻分布仍会在两个相位之间振荡。

这三种信息各自控制一种长期障碍。暂留允许路径带着正概率再不回头；零常返会回来，却等得太久，无法形成有限质量的稳态；周期大于一时，即使存在唯一平稳分布，从单点出发的边缘分布仍可能不收敛。

例子与边界

简单对称随机游走在 $\mathbb Z$ 上常返但零常返：它最终回到原点的概率为一，期望返回时间却无限。在 $\mathbb Z^3$ 上，同样的最近邻随机游走暂留，存在正概率永不回到原点。有限不可约链的所有状态都正常返。

在至少有一条边的连通无向二部图上，简单随机游走每一步都在两个顶点部之间交替，且沿任一邻边来回走都有正概率。因此返回步数全为偶数，又包含两步，周期恰为 $2$ 。有向二部图则未必如此，例如定向四环的周期是 $4$ 。没有自环却不能自动推出周期 $2$ ：若支撑图同时存在长度 $2$ 与长度 $3$ 的回路，返回步数的最大公因数为 $1$ ，链仍非周期。周期也不是“最短回路长度”，而是所有正概率返回步数的最大公因数。

推论与应用

沟通类先给出图结构，常返与周期再决定类内的长期概率行为。不可约可数链存在平稳概率分布当且仅当它正常返；有限不可约链自动满足这一点。若还要求从每个初态按总变差收敛到平稳分布，通常必须排除周期振荡。

标准混合时间因此多在有限、不可约、非周期链上定义。对周期链可加入以正概率原地停留的 lazy 步骤来打破周期，但这改变了转移核和时间尺度，应明确写出，而不能把时间平均收敛偷换成逐时刻分布收敛。

参考资料

David A. Levin, Yuval Peres, and Elizabeth L. Wilmer, Markov Chains and Mixing Times, 2nd ed., American Mathematical Society, 2017，Ch. 1 and Appendix A, recurrence and periodicity。
J. R. Norris, Markov Chains, Cambridge University Press, 1997，Chs. 1–2, recurrence classification and invariant distributions。

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