常返、暂留与周期性

形式陈述 ​

对从状态 $x$ 出发的可数状态 Markov 链公理库Markov 链Markov chain未来条件分布在给定当前状态后与更早历史无关的随机过程。，定义首次正返回时间

$$T_x^{+}=inf\{n\ge 1:X_n=x\}.$$

若 ${\mathbb{P}}_x(T_x^{+}<\mathrm{\infty })=1$，称 $x$ 常返；若该概率小于 $1$，称 $x$ 暂留。常返等价于期望访问次数无穷，即

$$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{P}^n(x,x)=\mathrm{\infty }.$$

常返状态若还满足 ${\mathbb{E}}_x{T}_x^{+}<\mathrm{\infty }$，称正常返；期望返回时间无限则称零常返。暂留、零常返与正常返是不同分类，不能把“最终会回来”和“平均多久回来”合并。

状态 $x$ 的周期定义为

$$d(x)=gcd\{n\ge 1:P^n(x,x)>0\}.$$

若 $d(x)=1$，称 $x$ 非周期。彼此沟通的状态具有相同的常返类型和周期，因此可对整个沟通类谈这些性质。

直觉 ​

常返性问的是概率质量会不会永久逃离：从 $x$ 离开后，是否最终必然再次见到它。正常返再追问一次往返平均要多久。周期性关心另一件事——返回可能发生在哪些时刻；即使一定回来，若只能在偶数步返回，时刻分布仍会在两个相位之间振荡。

这三种信息各自控制一种长期障碍。暂留允许路径带着正概率再不回头；零常返会回来，却等得太久，无法形成有限质量的稳态；周期大于一时，即使存在唯一平稳分布，从单点出发的边缘分布仍可能不收敛。

例子与边界 ​

简单对称随机游走在 $\mathbb{Z}$ 上常返但零常返：它最终回到原点的概率为一，期望返回时间却无限。在 ${\mathbb{Z}}^3$ 上，同样的最近邻随机游走暂留，存在正概率永不回到原点。有限不可约链的所有状态都正常返。

无自环的二部图随机游走每一步都在两个顶点部之间交替，从任一状态出发只能在偶数步返回，周期为 $2$。没有自环却不能自动推出周期 $2$：若支撑图同时存在长度 $2$ 与长度 $3$ 的回路，返回步数的最大公因数为 $1$，链仍非周期。周期也不是“最短回路长度”，而是所有正概率返回步数的最大公因数。

推论与应用 ​

沟通类公理库沟通类与不可约性Communication classes · Irreducible Markov chain按正概率多步可达性分解 Markov 链状态空间，并刻画整个链是否互相可达。先给出图结构，常返与周期再决定类内的长期概率行为。不可约可数链存在平稳概率分布公理库平稳分布Stationary distribution经马尔可夫转移后保持不变的状态分布。当且仅当它正常返；有限不可约链自动满足这一点。若还要求从每个初态按总变差收敛到平稳分布，通常必须排除周期振荡。

标准混合时间公理库混合时间Mixing time · Markov chain mixing timeMarkov 链从最坏初态接近平稳分布到指定总变差精度所需的步数。因此多在有限、不可约、非周期链上定义。对周期链可加入以正概率原地停留的 lazy 步骤来打破周期，但这改变了转移核和时间尺度，应明确写出，而不能把时间平均收敛偷换成逐时刻分布收敛。

参考资料

• David A. Levin, Yuval Peres, and Elizabeth L. Wilmer, Markov Chains and Mixing Times, 2nd ed., American Mathematical Society, 2017，Ch. 1 and Appendix A, recurrence and periodicity。
• J. R. Norris, Markov Chains, Cambridge University Press, 1997，Chs. 1–2, recurrence classification and invariant distributions。