沟通类与不可约性

形式陈述 ​

本页讨论有限或可数状态空间上的齐次 Markov 链公理库Markov 链Markov chain未来条件分布在给定当前状态后与更早历史无关的随机过程。，转移矩阵为 $P$。若存在某个 $n\ge 0$ 使

$$P^n(x,y)>0,$$

则称 $x$ 可达 $y$，记作 $x\to y$。取 $n=0$ 使每个状态可达自身。若 $x\to y$ 且 $y\to x$，称 $x$ 与 $y$ 沟通，记作 $x\leftrightarrow y$。沟通关系是等价关系，因而把状态空间分成互不相交的沟通类。

集合 $C$ 称闭类，如果从 $C$ 内不能以正概率转移到外部，即对 $x\in C,y\notin C$ 有 $P(x,y)=0$。链称不可约，如果所有状态属于同一个沟通类；等价地，对任意 $x,y$ 都存在某个步数 $n$ 使 $P^n(x,y)>0$。这里的步数可随状态对变化，不要求一步直达，也不要求存在统一的 $n$。

直觉 ​

忽略概率的具体大小，只保留哪些一步转移具有正概率，就得到一张有向图公理库有向图Directed graph · Digraph边具有方向、可表示为顶点有序对集合的图。。沟通类正是这张支撑图的强连通分量；闭类则是没有指向外部边的汇分量。概率值决定长期停留与返回的频率，正支撑先决定哪些区域在路径上根本能够互达。

不可约性的含义是链没有彼此隔绝的概率世界：无论从哪里开始，每个状态最终都有机会被访问。它只说“存在正概率路径”，不说到达很快、返回期望有限或分布会收敛。把这些结论一起塞进“遍历”一词会掩盖不可约、常返和非周期三个不同层次。

例子与边界 ​

考虑状态 $\{0,1,2,3\}$：$0$ 与 $1$ 可相互转移，且都可能进入 $2$；$2$ 与 $3$ 可相互转移，但不能回到 $0,1$。沟通类为 $\{0,1\}$ 与 $\{2,3\}$，后者是闭类，前者不是。链从前者出发可能最终进入后者，此后再也离不开。

一步概率 $P(x,y)=0$ 不表示 $y$ 不可达；只要存在 $x=x_0,x_1,\dots ,x_n=y$ 且每条边概率为正，就有 $P^n(x,y)>0$。反过来，画图时不能把“模型上似乎允许”但概率实际为零的边算进去。不可约也不保证正常返：整数上的对称随机游走不可约，却没有可归一化的平稳概率分布。有限不可约链则一定正常返，但仍可能因周期而使逐时刻分布振荡。

推论与应用 ​

沟通类分解是分析长期行为的第一步。每个闭类都可拥有自身的平稳分布公理库平稳分布Stationary distribution经马尔可夫转移后保持不变的状态分布。；从暂态区域出发的质量会流向一个或多个闭类。类内状态共享常返性与周期，后续由常返、暂留与周期性公理库常返、暂留与周期性Recurrence and transience · Periodicity of Markov chains用返回概率、返回时间与可返回步数刻画 Markov 链状态的长期类型。精细分类。

有限不可约且非周期的链才进入标准混合时间公理库混合时间Mixing time · Markov chain mixing timeMarkov 链从最坏初态接近平稳分布到指定总变差精度所需的步数。框架。实际建模时，先检查支撑图往往比先求特征值更高效：若链已经分裂成多个闭类，从最坏初态收敛到同一个平稳分布便不可能发生。

参考资料

• David A. Levin, Yuval Peres, and Elizabeth L. Wilmer, Markov Chains and Mixing Times, 2nd ed., American Mathematical Society, 2017，Ch. 1, irreducibility and communication classes。
• J. R. Norris, Markov Chains, Cambridge University Press, 1997，§1.2, communicating classes and closed classes。