Markov 链平稳分布收敛定理

形式陈述 ​

设 $P$ 是可数状态空间 $S$ 上不可约、正常返且非周期 Markov 链的转移核，$\pi$ 是其唯一平稳分布。则对任意状态 $i,j\in S$，

$$P^n(i,j)⟶\pi (j).$$

因此，从任意初始分布 $\mu$ 出发，$X_n$ 的边际分布 $\mu P^n$ 逐点趋于 $\pi$；在可数离散空间上，这也给出总变差收敛。有限不可约链自动正常返，所以有限情形只需另加非周期性。

这条结论只描述第 $n$ 个时刻的分布，不是沿单条样本路径求平均。后者由时间平均遍历定理公理库马尔可夫链时间平均遍历定理Ergodic theorem for Markov chains不可约正常返 Markov 链的一条长轨道，其可积观测时间平均几乎必然趋于平稳平均。控制，并不要求非周期性。

直觉 ​

不可约性排除永久隔离的多个状态类，正常返性让平稳概率质量能够归一化，非周期性则打散“只能在某些同余时刻回到这里”的相位。三者合在一起，初始状态留下的信息才会随步数消散，单步边际逐渐只剩平稳分布。

周期性并不阻止长期访问比例稳定，却会让每个固定时刻仍记得当前相位。时间平均把多个相位混在一起，逐时刻收敛没有这种平均作用，因此假设更强。

例子与边界 ​

二状态确定性交替链 $0\leftrightarrow 1$ 不可约，平稳分布为 $(1/2,1/2)$，但从 $0$ 出发时分布在 ${\delta }_0$ 与 ${\delta }_1$ 之间交替，永不趋于 $\pi$。给每个状态加入正概率自环后周期被打破，边际分布才趋稳。

整数上的简单对称随机游走不可约且常返，却是零常返，没有平稳概率分布，不能套用定理。可约链则可能有多个闭类；此时极限若存在，也可能依赖初始分布落入哪个类。非正规或无限状态情形还需核对正常返性，不能把有限链直觉直接外推。

推论与应用 ​

混合时间公理库混合时间Mixing time · Markov chain mixing timeMarkov 链从最坏初态接近平稳分布到指定总变差精度所需的步数。量化有限链达到给定总变差精度需要多少步；本页定理只给极限存在，不自动给收敛速率。可逆链可进一步用谱隙或 conductance 控制速度，耦合法则通过两条链相遇来给出概率界。

MCMC 的 burn-in 讨论依赖逐时刻分布趋稳，而最终估计量通常是轨道平均，还同时需要遍历定理。二者分别控制初始偏差和长期平均，不能用“链看起来稳定”把其中任一项省略。

参考资料

• J. R. Norris, Markov Chains, Cambridge University Press, 1997，convergence to equilibrium。
• David A. Levin, Yuval Peres, and Elizabeth L. Wilmer, Markov Chains and Mixing Times, 2nd ed., AMS, 2017，ergodicity and convergence。