形式陈述

在概率空间 $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F},P)$ 中，对事件 $A,B\in \mathcal{F}$ 且 $P(B)>0$，定义

$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.$$

固定 $B$ 后，$A\mapsto P(A\mid B)$ 本身是 $\mathcal{F}$ 上的概率测度。乘法公式为

$$P(A\cap B)=P(B)P(A\mid B),$$

若 $P(A)>0$，也等于 $P(A)P(B\mid A)$；由此得到 Bayes 公式。

直觉

已知 $B$ 发生后，样本空间有效地缩小为 $B$，原概率在这部分重新归一化。条件概率不是把 $B$ 从公式中“代入”，而是改变用于比较事件大小的基准总量。

例子与边界

掷公平骰子，已知结果为偶数时，结果大于 $3$ 的条件概率是 $2/3$。当 $P(B)=0$ 时比值没有定义；连续模型中对 $X=x$ 的条件分布需借助正则条件概率或密度，不能直接用 $0/0$。

推论与应用

条件概率组织贝叶斯推断、全概率公式、随机过程转移和条件期望。条件化可能改变独立性；事件在无条件下独立，并不保证给定第三事件后仍独立。

参考资料

• Patrick Billingsley, Probability and Measure, 3rd ed., Wiley, 1995，§4。
• Sheldon Ross, A First Course in Probability, 10th ed., Pearson, 2019，Ch. 3。