条件概率

条件化保留事件 $A$ 的样本点组成，只更换比较所用的总体。已知 $B$ 发生后，$B^{\mathsf{c}}$ 中的样本被排除，剩余质量再除以 $\mathbb{P}(B)$ 归一化。于是 $\mathbb{P}(A\mid B)$ 测量 $A\cap B$ 在 $B$ 内所占的比例；$A$ 在整个 $\mathrm{\Omega }$ 中的大小由 $\mathbb{P}(A)$ 描述。

这也解释了条件概率的方向性。$\mathbb{P}(A\mid B)$ 的分母是 $B$，$\mathbb{P}(B\mid A)$ 的分母是 $A$；两者描述不同问题，通常不会相等。条件化还可能制造、消除或反转关联，因为删去样本空间的一部分会改变余下各组的比例。它只是一条概率更新规则，本身不提供因果方向。

从一副标准扑克牌中不放回地抽两张。令 $A$ 表示“第二张是 A”，$B$ 表示“第一张是 A”。对称性给出 $\mathbb{P}(A)=4/52$，但已知第一张占用了一张 A 后，剩余 $51$ 张中只有 $3$ 张 A，所以

若改令 $C$ 表示“第一张不是 A”，则

同一个目标事件因已知信息不同而得到不同概率；不放回抽样改变了剩余牌堆的组成，第二张牌本身并没有在事后被改写。

再看方向错误。单抽一张牌，令 $D$ 表示“抽到 A”、$S$ 表示“抽到黑桃”，则

两式使用同一个交集“黑桃 A”，却以不同事件归一化。知道交集概率并不足以判断条件概率，还必须知道条件事件的概率。

当 $\mathbb{P}(B)=0$ 时，初等比值没有定义。连续随机变量仍可在 $X=x$ 下条件化，只是单个零概率纤维上的条件值无法由 $0/0$ 比值决定。此时需要正则条件分布公理库条件分布Conditional distribution · Regular conditional distribution给定观测值后随机量的概率律，以及它与原联合分布相容的核表示。或条件期望公理库条件期望Conditional expectation给定子 σ-代数后可测、并在所有已知事件上保持原积分的随机变量。；所得版本通常也只在条件变量分布的几乎处处意义下唯一。

条件事件概率很小时，$\mathbb{P}(A\mid B)$ 仍然可以稳定地位于 $[0,1]$，但从数据估计它会困难得多：有效样本只剩落在 $B$ 中的部分。这个统计困难不改变定义，却提醒人们不要把数学上可定义与有限数据下可精确估计混为一谈。

若 $\mathbb{P}(B)>0$，事件 $A$ 与 $B$ 独立当且仅当

这个条件式刻画很直观，但独立性公理库独立性Statistical independence若干事件、σ-代数或随机元素的所有有限联合概率都按边缘概率乘积分解。的乘积定义更基本，因为它在 $\mathbb{P}(B)=0$ 时仍有意义，也能自然推广到事件族和 $\sigma$-代数族。

若 $(B_i)$ 构成可数可测划分，全概率公式公理库全概率公式Law of total probability沿有限或可数可测划分分解事件，并按各分块概率加权合并。先在每个 $B_i$ 内计算，再按 $\mathbb{P}(B_i)$ 混合。Bayes 定理随后反转条件方向。乘法公式、全概率与 Bayes 依次完成“交集分解—加总—重新归一化”，构成同一条推导链。

马尔可夫链用条件概率描述给定当前状态后的下一步；诊断与分类问题比较给定观测后的类别概率；序贯决策则不断把新信息加入条件集合。应用时必须写清条件位于竖线哪一侧，以及条件对象是正概率事件、随机变量生成的信息，还是需要概率核处理的逐点条件。