条件概率

条件化保留事件 $A$ 的样本点组成，只更换比较所用的总体。已知 $B$ 发生后，$B^{\mathsf{c}}$ 中的样本被排除，剩余质量再除以 $\mathbb{P}(B)$ 归一化。于是 $\mathbb{P}(A\mid B)$ 测量 $A\cap B$ 在 $B$ 内所占的比例；$A$ 在整个 $\mathrm{\Omega }$ 中的大小由 $\mathbb{P}(A)$ 描述。

条件还可能让原本独立的事件相关。独立抛两枚公平硬币，已知“恰有一枚正面”后，只剩 HT 与 TH 两个等可能结果；第一枚为正面时，第二枚为正面的条件概率变成 $0$。依赖来自筛选留下的联合结果，而不是硬币之间产生了物理作用。

筛选后还必须保留原来的相对权重，不能把留下的结果一律当成等可能。例如一个三结果试验中，$\mathbb{P}(\{a\})=1/2$、$\mathbb{P}(\{b\})=1/3$、$\mathbb{P}(\{c\})=1/6$；已知结果属于 $B=\{a,b\}$ 后，结果为 $a$ 的概率是 $(1/2)/(5/6)=3/5$，而非 $1/2$。只有原来等可能的有限样本，才可以直接用结果个数相除。

归一化的分母也解释了条件概率的方向性。$\mathbb{P}(A\mid B)$ 的分母是 $B$，$\mathbb{P}(B\mid A)$ 的分母是 $A$；两者描述不同问题，通常不会相等。条件化还可能制造、消除或反转关联，因为删去样本空间的一部分会改变余下各组的比例。它只是一条概率更新规则，本身不提供因果方向。

从一副标准扑克牌中不放回地抽两张。令 $A$ 表示“第二张是 A”，$B$ 表示“第一张是 A”。对称性给出 $\mathbb{P}(A)=4/52$，但已知第一张占用了一张 A 后，剩余 $51$ 张中只有 $3$ 张 A，所以

若改令 $C$ 表示“第一张不是 A”，则

同一个目标事件因已知信息不同而得到不同概率；不放回抽样改变了剩余牌堆的组成，第二张牌本身并没有在事后被改写。把两种信息重新混合，就恢复无条件概率：

权重是第一张牌属于两类的概率；不能对 $3/51$ 与 $4/51$ 直接取算术平均，因为两类并不等可能。

再看方向错误。单抽一张牌，令 $D$ 表示“抽到 A”、$S$ 表示“抽到黑桃”，则

两式使用同一个交集“黑桃 A”，却以不同事件归一化。知道交集概率并不足以判断条件概率，还必须知道条件事件的概率。

当 $\mathbb{P}(B)=0$ 时，初等比值没有定义。连续随机变量仍可在 $X=x$ 下条件化，只是单个零概率纤维上的条件值无法由 $0/0$ 比值决定。此时需要正则条件分布理路条件分布Conditional distribution · Regular conditional distribution给定观测值后随机量的概率律，以及它与原联合分布相容的核表示。或条件期望理路条件期望Conditional expectation以信息分组的加权平均建立条件期望直觉，再连接测度定义、最小均方预测、塔式性质和可计算反例。；所得版本通常也只在条件变量分布的几乎处处意义下唯一。

条件事件概率很小时，$\mathbb{P}(A\mid B)$ 仍然可以稳定地位于 $[0,1]$，但从数据估计它会困难得多：有效样本只剩落在 $B$ 中的部分。这个统计困难不改变定义，却提醒人们不要把数学上可定义与有限数据下可精确估计混为一谈。

若 $\mathbb{P}(B)>0$，事件 $A$ 与 $B$ 独立当且仅当

这个条件式刻画很直观，但独立性理路独立性Statistical independence从概率表理解独立性，区分两两、相互和条件独立，并用可计算反例澄清零协方差与条件均值的限度。的乘积定义更基本，因为它在 $\mathbb{P}(B)=0$ 时仍有意义，也能自然推广到事件族和 $\sigma$-代数族。

若 $(B_i)$ 构成可数可测划分，全概率公式理路全概率公式Law of total probability沿有限或可数可测划分分解事件，并按各分块概率加权合并。先在每个 $B_i$ 内计算，再按 $\mathbb{P}(B_i)$ 混合。Bayes 定理随后反转条件方向。乘法公式、全概率与 Bayes 依次完成“交集分解—加总—重新归一化”，构成同一条推导链。

马尔可夫链用条件概率描述给定当前状态后的下一步；诊断与分类问题比较给定观测后的类别概率；序贯决策则不断把新信息加入条件集合。应用时必须写清条件位于竖线哪一侧，以及条件对象是正概率事件、随机变量生成的信息，还是需要概率核处理的逐点条件。