形式陈述

离散无记忆信道由有限输入字母表 $\mathcal X$$\mathcal{X}$、有限输出字母表 $\mathcal Y$$\mathcal{Y}$ 和转移概率 $W(y\mid x)$$W(y\mid x)$ 给出。连续使用 $n$$n$ 次时

$$ P(y^n\mid x^n)=\prod_{i=1}^nW(y_i\mid x_i), $$$$P(y^n\mid x^n)=\prod _{i=1}^{n}W(y_i\mid x_i),$$

即当前输出仅依赖当前输入，条件于输入序列后各次独立。输入本身可相关；“无记忆”指信道律而非源。

直觉

信道每次按同一随机规则独立污染当前符号，不记住过去传了什么或错了什么。

例子与边界

二元对称信道以概率 $p$$p$ 翻转比特；二元擦除信道以概率 $\epsilon$$ϵ$ 输出擦除符号。若噪声状态随时间形成 Markov 链，就不是普通 DMC。转移矩阵每一输入行必须是概率分布。可数字母表版本可以定义，但容量存在性、紧性和编码定理常需额外技术条件。反馈不改变离散无记忆信道的 Shannon 容量，但会改变编码策略与误差指数。

推论与应用

DMC 是信道容量、随机编码和纠错码理论的标准基线模型。

参考资料

• Thomas M. Cover and Joy A. Thomas, Elements of Information Theory, 2nd ed., Wiley, 2006，Chs. 2–8。
• Claude E. Shannon, “A Mathematical Theory of Communication,” Bell System Technical Journal 27, 1948，Parts I–II。