形式陈述

二元对称信道 BSC$(p)$$(p)$ 的输入输出均为 $\{0,1\}$$\{0,1\}$，每次以概率 $p$$p$ 翻转输入、以 $1-p$$1-p$ 保持，且各次条件独立。它等价于 $Y=X\oplus Z$$Y=X\oplus Z$，其中噪声 $Z\sim\mathrm{Bernoulli}(p)$$Z\sim \mathrm{Bernoulli}(p)$ 独立于输入。其容量为 $1-h_2(p)$$1-h_2(p)$ 比特/次；$p>1/2$$p>1/2$ 可通过输出翻转化为 $1-p$$1-p$。

直觉

每个比特都经过一枚独立“是否翻转”的噪声硬币，0 和 1 受到完全对称的影响。

例子与边界

$p=0$$p=0$ 是无噪声信道，容量 1；$p=1/2$$p=1/2$ 输出与输入独立，容量 0；$p=1$$p=1$ 总翻转但可确定逆转，容量仍 1。现实突发错误具有记忆，不能由独立 BSC 充分描述。

推论与应用

BSC 是编码理论的标准测试信道，用于分析重复码、线性码、容量和译码错误。

参考资料

• Thomas M. Cover and Joy A. Thomas, Elements of Information Theory, 2nd ed., Wiley, 2006，Chs. 2–8。
• Claude E. Shannon, “A Mathematical Theory of Communication,” Bell System Technical Journal 27, 1948，Parts I–II。