极化码

极化码不试图让所有坐标都同样可靠。递归变换主动制造可靠度悬殊的 bit-channel：把消息放进几乎无噪的坐标，把几乎纯噪声的坐标冻结成已知常数。生成矩阵的蝶形结构让这一可靠度重排只用 $N\log N$ 次异或完成，而不需存储一般稠密矩阵。

码的行选择与信道绑定。同一个 $G_N$ 在不同 BSC、BEC 或 AWGN 参数下可能需要不同 $\mathcal{A}$；“极化码”因此既包含代数变换，也包含 construction method。只给出 Kronecker 矩阵而不说明信道、可靠度排序与冻结集合，还没有完整确定实际使用的码。

为便于手算，省略 bit-reversal 并取

令 $\mathcal{A}=\{3,4\}$、$u_1=u_2=0$，写 $u_3=a,u_4=b$，则

四个码字为 0000、1010、1111、0101，故码率为 $1/2$、最小距离为 $2$。这个集合展示“冻结两行、保留两行”的线性构造；它没有声称 $\{3,4\}$ 对任意给定信道都是最优信息集。

渐近容量可达不保证短块下性能自动优于 LDPC 或 Turbo。原始 kernel 的极化速度较慢，最小距离和 SC 错误传播也会限制有限长度。density evolution、Gaussian approximation、Tal–Vardy degrading/upgrading 等 construction 算法给出的可靠度排序精度不同。Puncturing、shortening、CRC 外码与 systematic encoding 改变有限长度系统，但不是基础定义的免费结论。

递归矩阵可原地编码：按蝶形网络逐层对成对位置异或，存储为 $O(N)$、运算为 $O(N\log N)$。信息集若由信道离线计算，运行时只需冻结写入和变换。极化码还具有嵌套结构：改变信息集可形成 rate-compatible 家族，但不同长度和 puncturing pattern 仍需重新评估 bit-channel。

5G 控制信道采用 CRC-aided list decoding 的 polar code，体现了理论基础与工程实现的分层：polar transform 提供结构，CRC 帮助在列表中选择候选，list decoder 弥补纯 SC 的有限长度损失。不能把该组合性能倒归为基础 SC 定理。