信道极化

一次变换没有创造信息，而是把两个同质量信道重新分配成一个更难、一个更容易的决策。解码第一个 bit 时，另一个输入像额外噪声；解码第二个 bit 时，先前 bit 成为侧信息。不断递归后，大多数决策位置不再“中等可靠”：要么几乎由观测决定，要么观测几乎无用。

守恒式可直接用条件熵的链式分解理路条件熵Conditional entropy已知一个随机变量后另一个随机变量剩余不确定性的平均值。核对。令 $U_1,U_2$ 独立均匀，记 $Y=(Y_1,Y_2)$；可逆 kernel 使 $X_1,X_2$ 也独立均匀。因此

最后一项的输出包含 $U_1$，而 $U_2$ 的先验仍为公平比特。这里所有字母表有限，不涉及发散熵相减。

守恒关系解释好信道的比例为何恰是 $I(W)$，Bhattacharyya 递推则量化可靠度如何分离。极化不是每条路径单调变好或变坏；同一路径会按 minus/plus 分支上下波动，定理描述的是随机选择分支后可靠度过程几乎必然收敛到 $\{0,1\}$ 两端。

对 BEC$(ϵ)$，合成信道仍是 BEC，且递推精确为

取 $ϵ=1/2$，第一层擦除率为 $3/4$ 与 $1/4$，容量分别为 $1/4$ 与 $3/4$。再递归一次，四条路径的擦除率为

相应容量为

四者平均仍为 $1/2$，却已明显向零和一展开。这个标量等式依赖 BEC；一般信道的 minus 分支只有 $Z$ 上界，不能照抄擦除概率递推。

原始 $2\times 2$ kernel 产生 $2$ 的幂次块长。其他 kernel、puncturing 或 shortening 可以得到不同长度，但极化速度和证明条件随之改变。Arıkan 的基本定理适用于任意 B-DMC 的 symmetric capacity；要在非对称信道上达到完全 Shannon 容量，还需 shaping 或非均匀输入机制。

给定任意 $0<R<I(W)$，可从 $Z(W_N^{(i)})$ 小的索引中选择约 $RN$ 个承载信息，其余冻结。强化的极化速度定理表明，对任意 $0<\beta <1/2$，好信道可达到 $Z<2^{-N^{\beta }}$ 的尺度且所占比例趋于 $I(W)$。这个结论与 SC 的并合界结合，在相应冻结向量条件下得到达到 $I(W)$ 的码列；对称信道中这也就是 Shannon 容量。具体的信息集与冻结向量条件见极化码理路极化码Polar code按合成 bit-channel 可靠度选择信息行并冻结其余输入的递归二元线性码。。

信道极化还用于源极化、Slepian–Wolf 编码和随机性提取；方向会根据目标把高熵或低熵 bit-channel 选作信息位置。应用时应重新声明侧信息、输入分布和“好”的判据，而不能把信道编码的索引选择机械复用。