形式陈述

有限域 ${\mathbb{F}}_q$ 上长度 $n$ 的线性码 $C$ 是 ${\mathbb{F}}_q^n$ 的 $k$ 维子空间，记作 $[n,k,d{]}_q$，其中 $d$ 是非零码字最小 Hamming 重量，也等于最小距离。生成矩阵 $G$ 的行空间为 $C$；校验矩阵 $H$ 满足 $C=\ker H$。码率为 $k/n$。

直觉

把消息线性映射成带冗余的向量；线性结构让码字差仍是码字，因此距离分析可化为非零码字重量。

例子与边界

二元重复码 $\{000,111\}$ 是 $[3,1,3{]}_2$ 线性码。任意非线性码没有生成矩阵意义。矩阵 $G$ 需满行秩才能使消息维数为 $k$；不同生成矩阵可表示同一码。能检测至多 $d-1$ 个错误，唯一纠正至多 $\lfloor (d-1)/2\rfloor$ 个错误。

推论与应用

线性码用于通信和存储，并使编码、综合译码、对偶码和代数构造可高效实现。

参考资料

• F. J. MacWilliams and N. J. A. Sloane, The Theory of Error-Correcting Codes, North-Holland, 1977，Chs. 1–10。
• Shu Lin and Daniel J. Costello Jr., Error Control Coding, 2nd ed., Pearson, 2004，Chs. 1–7。