区组设计

区组设计的出发点是"公平"。设想要用若干次小规模试验比较 $v$ 种处理，每次试验只能容纳 $k$ 种：若某两种处理同场出现的次数比别的组合理路组合Combination · k-subset从有限集合中无序选取固定数量元素所得的子集。多，它们之间的比较就会获得不同的数据量，精度可能不一致。要求每个 $t$ 元组恰好共同出现 $\lambda$ 次，可以平衡这种共同出现次数；它本身不保证统计估计无偏——统计学家 Fisher 与 Yates 在农业试验中正是为此引入了均衡不完全区组设计。从组合角度看，它把"每对对象共同出现同样多次"（$t=2$）推广为任意阶的局部均衡；而 ${\lambda }_s$ 公式表明高阶均衡自动蕴含所有低阶均衡：一个 $t$-设计同时也是 $s$-设计（$s<t$）。这种"处处一样"的强对称要求，正是设计比一般集合族稀有得多、又有用得多的原因。

Fano 平面是最小阶的有限射影平面：以七个点、七条"直线"（每线三点）构成 $2$-$(7,3,1)$ 设计，任意两点恰在一条直线上。代入公式验证：$b=1\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{2})/(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2})=21/3=7$，每点处于 $r={\lambda }_1=6/2=3$ 条线上，与图形一致。它可由有限域理路有限域Finite field · Galois field底层集合有限的域。 ${\mathbb{F}}_2$ 直接构造：把 ${\mathbb{F}}_2^3$ 的七个非零向量作为点，每条线取 $\{a,b,a+b\}$，其中 $a\ne b$。每对不同非零点唯一决定第三点，故每对恰出现一次；以三位二进制数 $1,\dots ,7$ 标号时，七个区组是 $123,145,167,246,257,347,356$，这里 $123$ 表示点集 $\{1,2,3\}$。Steiner 三元系是 $2$-$(v,3,1)$ 设计；对 $v\ge 3$，Kirkman 证明了它存在当且仅当 $v\equiv 1,3(\mathrm{mod}6)$。

整除条件只是必要条件，并不保证设计存在，这是初学者最易忽略的边界。经典反例是 $2$-$(43,7,1)$：其参数使 $b=43$、$r=7$ 均为整数，但该设计（即六阶射影平面）被 Bruck–Ryser 定理排除：六阶满足 $6\equiv 2(\mathrm{mod}4)$，却不能写成两个整数平方之和。另一处约定性边界是重复区组：允许同一区组多次出现时，应把 $\mathcal{B}$ 改为多重集并按重数计入"包含次数"，称为多重设计；本页默认简单设计。最后，区组设计不同于一般 $k$ 一致超图理路超图Hypergraph边可以连接任意多个顶点而非仅两个顶点的离散结构。——超图对子集的出现次数没有任何均衡要求，设计则要求精确均衡，因此可视为超图中高度正则的特殊类。

$t=2$ 的情形即均衡不完全区组设计（BIBD）。Fisher 不等式断言非平凡 $2$-设计（$v>k$）必有 $b\ge v$，等号成立的对称设计（如射影平面）同时是有限几何的核心对象。在统计实验中，BIBD 把处理分配在容量受限的区组内，以控制区组间异质性；数据分析可写成含区组与处理项的线性模型，并由方差分析理路方差分析Analysis of variance · ANOVA将组均值比较表示为线性模型，并把总平方和正交分解为组间与组内部分。比较相应平方和。组合上的出现次数平衡并不自动提供随机化、误差独立、同方差或因果解释，这些条件必须由实验方案另行给出。

在编码理论中，有一个精确的单错例子：设二元长度 $n\ge 3$ 的码含零码字，且半径一的 Hamming 球恰好分割全部二元串。每个重量二的串必须由唯一一个非零码字在距离一内覆盖；最小距离至少三迫使该码字重量为三，并包含原来的两个非零位置。因此重量三码字的支撑构成 $2$-$(n,3,1)$ Steiner 三元系。二元 $[7,4,3]$ Hamming 线性码理路线性码Linear code有限域向量空间中的线性子空间作为码字集合的信道码。就给出上面的 Fano 区组。其他码或其他重量层是否形成设计，需另证相应条件，不能对所有完备码的任意固定重量层一概断言。相同的覆盖均衡思想还用于抽样方案、软件成对测试覆盖与密钥分配，但每个场景对区组、重复和容错的解释并不相同。

存在性理论关心满足参数方程的组合对象是否真的存在。Keevash 于 2014 年证明：对任意固定的 $1\le t<k$ 与正整数 $\lambda$，只要 $v$ 充分大且满足全部整除条件，$t$-$(v,k,\lambda )$ 设计必然存在，从而把长期悬而未决的一般存在性问题化归为有限多个小参数例外。