形式陈述

取整数 $1\le t\le k\le v$$1\le t\le k\le v$ 与 $\lambda\ge1$$\lambda \ge 1$。本页默认采用简单设计约定。$t$$t$-$(v,k,\lambda)$$(v,k,\lambda )$ 区组设计是二元组 $(X,\mathcal B)$$(X,\mathcal{B})$：$X$$X$ 是含 $v$$v$ 个点的有限集，$\mathcal B\subseteq\binom{X}{k}$$\mathcal{B}\subseteq (\genfrac{}{}{0ex}{}{X}{k})$ 是互不重复的 $k$$k$ 元区组集合，并且每个 $t$$t$ 元子集恰包含在 $\lambda$$\lambda$ 个区组中。允许重复区组时，应把 $\mathcal B$$\mathcal{B}$ 改为多重集，并按重数计入“包含次数”；这称为多重设计。双计数给出区组数

$$ b=\lambda\frac{\binom vt}{\binom kt}, $$$$b=\lambda \frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{v}{t})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{t})},$$

以及每个 $0\le s\le t$$0\le s\le t$ 元子集所处区组数

$$ \lambda_s=\lambda\frac{\binom{v-s}{t-s}}{\binom{k-s}{t-s}}, $$$${\lambda }_s=\lambda \frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{v-s}{t-s})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{k-s}{t-s})},$$

故这些量必须为整数。

直觉

区组设计要求小规模局部组合在整个实验或编码结构中出现得完全均衡。它把“每对对象共同出现几次”推广为“每个 $t$$t$ 元组共同出现固定次数”。

例子与边界

Fano 平面的七条直线构成 $2$$2$-$(7,3,1)$$(7,3,1)$ 设计：任意两点恰在一条直线上。Steiner 三元系是 $2$$2$-$(v,3,1)$$(v,3,1)$ 设计；对 $v\ge3$$v\ge 3$，它存在当且仅当 $v\equiv1,3\pmod6$$v\equiv 1,3(\mathrm{mod}6)$。整数参数条件只是必要条件，并不保证设计存在。文献有时允许区组重复，此时 $\mathcal B$$\mathcal{B}$ 是多重族而非普通集合；本页默认简单设计并显式指出重复版本。区组设计不同于一般超图，因为它额外要求精确均衡。

推论与应用

区组设计用于实验设计、纠错码、有限几何、抽样和测试覆盖；对称设计、可分解设计与 Steiner 系统是重要子类。

参考资料

• J. H. van Lint and R. M. Wilson, A Course in Combinatorics, 2nd ed., Cambridge University Press, 2001，Ch. 19, t-designs, BIBDs, and parameter equations。
• Douglas R. Stinson, Combinatorial Designs: Constructions and Analysis, Springer, 2004，Chs. 1 and 9, BIBDs, t-designs, parameter identities, and examples。