Tanner 图

矩阵把一条校验藏在一整行数字里；Tanner 图把同一信息拆成变量与约束之间的局部接触。沿一条边传递的并不是一个新码字符号，而是“这个变量对这条校验贡献什么”或“除去这个变量后，这条校验提供多少证据”。两侧角色不能交换：变量保存未知量，校验保存关系；普通无角色图无法表达这种接口。

图的 girth 是最短圈长度。以某条边为中心展开 $t$ 层时，若尚未遇到圈，局部计算树中的不同分支来自互不重叠的信道观测；一旦形成短圈，同一观测就会沿不同路径回流。这个图像解释了为什么 Tanner 图既是码的组合表示，也是分析迭代译码相关性的基本载体。

取

图有变量 $v_1,\dots ,v_4$ 和校验 $f_1,f_2$；边为

路径

是一个长度四的圈。向量 1110 满足两条校验，因为第一行与第二行的内积都为 $1+1=0$。若用第一行加到第二行，新的第二行成为 $(1,0,1,0)$；零空间没有改变，但新校验只连接 $v_1,v_3$，原来的四圈也消失。这一计算直接显示“同一码”与“同一 Tanner 图”不是同一断言。

一棵 Tanner 图上可以精确做有限轮消元或消息传播，但实际有正码率、正距离的有限图通常包含圈。大 girth 只保证较浅邻域像树，不保证所有迭代都独立。图连通也不推出码距离大：若两个变量具有完全相同且很小的邻域，它们的和可能形成低重量码字。非二元情形还可能出现底图相同、边系数不同而码参数显著不同的现象。

校验矩阵稀疏等价于 Tanner 图边数为 $O(n)$，因此一轮遍历可在线性时间内完成。密度演化把随机图的有限深邻域替换成计算树；expander code 用小集合的邻域增长证明距离和翻转译码；硬件实现则根据图的边着色、分层调度或准循环 lift 安排并行访存。

Tanner 图也是 factor graph 的专门版本。一般 factor graph 可以表示任意函数分解，而 Tanner 图的约束特指线性校验。把二者完全等同会遗漏边标签和线性结构；把 Tanner 图仅当可视化插图，又会错过它对复杂度、独立性与失败结构的精确定量作用。