局部可恢复码

大型存储中只丢失一个节点时，读取足以全局译码的 $k$ 个符号代价过高。LRC 为每个坐标准备一个小修复组：局部校验像一张小额保险单，只访问附近 $r$ 个幸存符号就能补回擦除。多个修复组可以重叠，局部性描述读取数量，不自动描述并行修复、网络带宽或负载均衡。

局部校验增加了低重量对偶码字，也消耗冗余。若把数据切成互不相交的小组并各加一个 parity，单擦除修复很便宜，但两个同组擦除就可能无法局部恢复；额外全局 parity 可提高最小距离，却要在码率和修复结构间重新分配预算。

在任意 ${\mathbb{F}}_q$ 上取

它是长度六、维数四的线性码。前三个坐标满足 $x_1+x_2-x_3=0$，后三个满足 $x_4+x_5-x_6=0$；每个坐标都能由同组三元组中另外两个恢复，所以 all-symbol locality 为 $r=2$。非零消息 $(a,b,c,d)=(1,0,0,0)$ 产生重量二码字 $(1,0,1,0,0,0)$，故 $d=2$。Singleton 型界也给出

因此这个小码达到界。

这里的恢复问题已知哪个坐标擦除，并假定 repair group 的符号可正确读取。它与重数码公理库重数码Multiplicity code在每个有限域评价点同时记录低次 Hasse 导数以编码多项式局部展开的码。文献中的局部纠错不同：后者面对一个在未知位置含全局对抗错误的 oracle，以随机查询和成功概率恢复消息符号；LRC 的 locality 定义没有噪声半径或成功概率量词。反过来，局部纠错算法能容忍噪声，也不必提供固定、确定性的大小 $r$ 修复组。

若要求任意两个擦除仍可局部修复，需要 locality with availability 或 $(r,\delta )$-locality；若只要求信息符号可修复，parity 坐标可能没有小组。一般非线性 LRC 也可定义，但本页的对偶码字刻画与线性 Singleton 型界不能无条件移植。

达到上述界的 optimal LRC 可用多项式评价构造：把评价点分组，使某个低次“good polynomial”在每组恒定，从而同时形成局部插值关系与全局距离。Tamo–Barg 构造说明局部性不必靠简单分组 parity 实现，也可与接近 MDS 的全局结构协调。

分布式存储还关心 repair bandwidth、subpacketization、多个可用修复组和热点负载；这些指标不由 locality $r$ 单独决定。部署时应分别报告 all-symbol 或 information locality、最小距离、可同时容忍的擦除数以及修复是否需要跨 rack 通信。