重数码

一个普通评价告诉我们曲线经过哪里；一组 Hasse 导数还告诉我们在该点附近的低阶 Taylor 行为。两个低次多项式若在许多点拥有相同的整段 jet，它们的差就必须在这些点具有高重根，而总次数没有足够预算容纳太多高重根。这是距离和插值算法的共同资源。

Hasse 导数在正特征中比反复普通求导更合适，因为它直接读取 $P(X+Z)$ 的系数，不需要除以阶乘。比如在特征 $p$ 中，普通导数把 $X^p$ 导成零，而第 $p$ 阶 Hasse 导数 $(X^p{)}^{(p)}=1$，仍正确记录展开中的 $Z^p$ 项。

在 ${\mathbb{F}}_5$ 上取一元 $s=2$ 与

一阶 Hasse 导数等于 $3x^2+2$。按 $x=0,1,2,3,4$ 评价，码字为

若消息空间是次数小于 $k=4$ 的多项式，则一元精确距离为

原因是一个非零三次多项式最多在一个评价点具有至少二重根；要让一个大符号全零，函数值和一阶 Hasse 导数必须同时为零。

重数码的“局部解码”与局部可恢复码公理库局部可恢复码Locally recoverable code · Locally repairable code · LRC每个码字符号都能由至多 r 个其他符号线性恢复的 all-symbol 线性码。有不同正式量词。前者通常给定一个与合法码字全局相对距离至多 $\delta$ 的受损 oracle，用随机选择的少量查询以高概率恢复某个消息符号；查询位置本身也可能损坏。线性 all-symbol LRC 则在已知某一坐标擦除时，从一个固定大小至多 $r$、假定可读的修复集确定该码字符号。高概率 oracle 纠错不推出固定 repair group，locality $r$ 也不推出对全局对抗噪声的局部纠错。

多元 multiplicity codes 可同时取得高码率、正距离和次线性查询的局部纠错，在高维仿射线上限制多项式后，用一元重数信息恢复目标 jet。其查询复杂度、容错半径与域大小依参数共同决定；“读取导数”是码字符号的组成部分，不表示接收端能从噪声数据免费计算导数。

相同的高重零点计数也支撑列表译码与列表恢复公理库列表恢复List recovery从每个坐标给定的小候选集合中找出在足够多坐标命中的全部码字。。算法性结论需额外给出插值阶数、输出列表大小和运行时间，不能从距离公式直接推出。Alphabet 包含多个域元素，比较码率或查询数时还应说明按大符号还是按 base-field subsymbol 计费。