Singleton 界

最小距离 $d$ 表示任意两份合法数据至少在 $d$ 个坐标上有差别。即使抹掉其中 $d-1$ 个坐标，仍应剩下至少一个差别，所以短化后的词仍能唯一标识原码字。剩余 $n-d+1$ 个 $q$ 元坐标最多容纳 $q^{n-d+1}$ 种标签，这便直接限制了消息数量。

与 Hamming 球打包不同，Singleton 证明不计算噪声球体积，也不围绕最近邻译码。它只问“删掉多少坐标仍不丢失码字身份”，所以对擦除恢复和 MDS 结构格外透明，但对很多一般码的数值限制可能较粗。

$q$ 元重复码

有长度 $n$、码字数 $q$ 和最小距离 $n$。Singleton 界给 $q\le q^{n-n+1}=q$，恰好取等；任意保留一个坐标都能识别 $a$，删掉全部 $n$ 个坐标则不能。这一结构同时展示了等号与 puncturing 临界点，却以很低码率换取最大距离。

Reed–Solomon 码提供高维 MDS 实例。在 ${\mathbb{F}}_q$ 的 $n$ 个互异点上评价次数小于 $k$ 的多项式，得到 $[n,k,n-k+1{]}_q$ 码，正好达到线性 Singleton 界。其紧性来自任意 $k$ 个无错评价值都能插值恢复多项式；这也是“任意删除 $n-k$ 个坐标仍单射”的代数版本。

Singleton 是上界，不是存在定理。参数满足 $d\le n-k+1$ 只说明未被该界排除，不能保证给定 $q,n,k,d$ 的码存在；尤其 MDS 码的长度受字母表和代数结构限制，不能宣称所有等号参数都有构造。非线性码中 ${\log }_q|C|$ 不是维数，取整和可实现码字数也需单独处理。

这个界还不直接给译码算法或错误概率。达到 MDS 只说明距离最优；高效编码、唯一译码、列表译码以及特定信道上的软判决性能，仍是独立的算法与模型问题。

Singleton 界把信道码公理库信道码Channel code把消息映为信道输入码字并从带噪输出恢复消息的编码—译码对。的冗余与最坏情形擦除能力联系起来。最小距离为 $d$ 的码可保证恢复 $d-1$ 个已知位置擦除；界说明要承受这么多擦除，至少需要相应数量的冗余坐标。MDS 码在这一意义下把每个冗余符号都用到极致。

它也为编码参数图提供一条简单外边界，并解释Reed–Solomon 码公理库Reed–Solomon 码Reed–Solomon code以低次数多项式在互异域元素处的取值向量形成的最大距离可分码。为何被称为最大距离可分。与 Hamming 界的球打包上界、Gilbert–Varshamov 的存在下界并列阅读，可以区分“所有码必须满足什么”“某些码能够达到什么”以及“达到参数后能否高效译码”三类结论。