形式陈述

若 $q$$q$ 元长度 $n$$n$ 的码有 $M$$M$ 个码字并能唯一纠正 $t$$t$ 个错误，则码字周围半径 $t$$t$ 的 Hamming 球必须不交，因此

$$ M\sum_{i=0}^t\binom ni(q-1)^i\le q^n. $$$$M\sum _{i=0}^t(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})(q-1{)}^i\le q^n.$$

对最小距离 $d$$d$ 可取 $t=\lfloor(d-1)/2\rfloor$$t=\lfloor (d-1)/2\rfloor$。该球填充界适用于一般码，不只线性码。

直觉

每个可纠错码字必须拥有一块不会与其他码字混淆的接收空间，所有这些球不能超过整个空间。

例子与边界

二元 $[7,4,3]$$[7,4,3]$ Hamming 码有 16 个码字，半径 1 球大小 $1+7=8$$1+7=8$，乘积为 128，恰好填满 $2^7$$2^7$，故是完美码。界是必要条件，不保证满足参数的码一定存在；对于列表译码或软判决，球不交模型需要改变。

推论与应用

Hamming 界用于排除不可能码参数、定义完美码并比较编码构造效率。

参考资料

• F. J. MacWilliams and N. J. A. Sloane, The Theory of Error-Correcting Codes, North-Holland, 1977，Chs. 1–10。
• Shu Lin and Daniel J. Costello Jr., Error Control Coding, 2nd ed., Pearson, 2004，Chs. 1–7。