Turbo 码迭代译码 | Codeboy's Blog

形式陈述

给定Turbo 码的两台递归系统卷积分量编码器，译码器为每台 trellis 运行一次 soft-input soft-output BCJR/MAP 递推。对信息 bit $u_i$ ，分量译码器输出后验对数似然比

L_i^{\mathrm{APP}} =\log\frac{\Pr(u_i=0\mid\text{本分量全部观测与先验})} {\Pr(u_i=1\mid\text{本分量全部观测与先验})}.

它被分解为

L_i^{\mathrm{APP}} =L_i^{\mathrm{ch}}+L_i^{\mathrm a}+L_i^{\mathrm e},

其中 $L^{\mathrm{ch}}$ 是该系统 bit 的信道证据， $L^{\mathrm a}$ 是另一分量上轮提供的先验， $L^{\mathrm e}$ 是本 trellis 通过状态约束与 parity 观测新产生的 extrinsic 信息。只有 $L^{\mathrm e}$ 经 $\pi$ 或 $\pi^{-1}$ 后送往另一台译码器；传完整 APP 会把双方已经使用过的信道证据反复计数。

BCJR 对状态 $s$ 定义前向量 $\alpha_i(s)$ 、后向量 $\beta_i(s)$ 和分支度量 $\gamma_i(s',s)$ 。某 bit 值 $b$ 的未归一化后验由所有标记为 $b$ 的转移求和：

\Pr(u_i=b,\text{观测}) =\sum_{(s',s):u_i=b} \alpha_{i-1}(s')\gamma_i(s',s)\beta_i(s).

单个 trellis 上这一步是精确 MAP 边缘化；两个 trellis 经 interleaver 连接后形成有圈图，轮流运行 SISO 相当于按特定 schedule 使用置信传播，整体不等于一次全局 MAP 译码。

直觉

第一台译码器从原次序的状态连续性看信息序列，第二台从交织次序看同一组 bit。每台都把另一台尚未掌握的部分作为“新证据”送出，而把共同的系统观测扣除。初始时通常令 extrinsic 为零；经过若干轮，两个 trellis 对模糊 bit 的约束可能相互补强，后验绝对值增大。

这种交换依赖近似独立性。长交织器使两台 trellis 中的短局部邻域较少重叠，所以 extrinsic 更像来自新观测；迭代深入后消息仍会沿圈返回，不能继续假设完全独立。算法成功的经验图像是证据逐轮扩散，不是每轮都严格优化同一个凸目标。

例子与边界

LLR 分解可用 odds 精确核对。假设某 bit 的信道 odds 为 $2$ 、另一分量给出的先验 odds 为 $3$ ，本次 BCJR 汇总 trellis 与 parity 后得到 APP odds $18$ 。因独立证据在 odds 域相乘，本分量真正新增的 odds 是

\frac{18}{2\cdot3}=3,

所以传出的 extrinsic LLR 为 $\log3$ ，而不是 $\log18$ 。若第二台把 $\log18$ 当新先验，它会再次乘入 odds $2$ 与旧先验 odds $3$ ，造成正反馈式过度自信。

实际 BCJR 应在 log 域计算以避免长块下的下溢。Log-MAP 使用

\log(e^a+e^b)=\max(a,b)+\log(1+e^{-|a-b|}),

Max-Log-MAP 则丢掉校正项；后者更便宜但不是精确 MAP。固定轮数后停止、硬判决连续若干轮不变、校验通过或 extrinsic 增益很小都是不同停止规则。迭代可能振荡、停在错误伪码字或在低重量结构上形成 error floor，不能把“多迭代”写成单调改善保证。

推论与应用

若分量 trellis 的状态数固定，一次前向—后向递推是 $O(K)$ ，完整迭代扫描两台 trellis 仍为 $O(K)$ ；总成本再乘迭代次数。交织/解交织只重排 LLR，但会制造非连续访存，硬件吞吐量常受存储冲突而非算术次数限制。

EXIT chart 把每个 SISO 模块的输入、输出互信息关系画成两条曲线，用“隧道”预测大交织极限下的收敛区域。它是 ensemble/独立性近似下的分析工具，不替代具体有限码的距离谱或错误率证明。工程实现还会缩放 extrinsic、裁剪 LLR 并采用 sliding schedule；每项近似都应与精确 BCJR 接口分开报告。

参考资料

Lalit R. Bahl, John Cocke, Frederick Jelinek, and Josef Raviv, “Optimal Decoding of Linear Codes for Minimizing Symbol Error Rate,” IEEE Transactions on Information Theory 20(2), 1974, 284–287.
Claude Berrou and Alain Glavieux, “Near Optimum Error Correcting Coding and Decoding: Turbo-Codes,” IEEE Transactions on Communications 44(10), 1996, 1261–1271.
Stephan ten Brink, “Convergence Behavior of Iteratively Decoded Parallel Concatenated Codes,” IEEE Transactions on Communications 49(10), 2001, 1727–1737.

形式陈述 ​

形式陈述