贝叶斯诊断推断

阳性人群由两部分组成：真正处于目标状态且被测出的人，以及未处于目标状态却被误报的人。目标状态罕见时，第二部分的基数很大，即使误报比例低，也可能贡献更多阳性结果。

灵敏度 $P(+\mid D)$ 从目标人群出发，问其中多少人会被测出；预测值 $P(D\mid +)$ 从阳性人群出发，问其中多少人真正处于目标状态。Bayes 公式把这两个统计方向通过先验比例联系起来。

取患病率 $1\mathrm{\%}$、灵敏度 $99\mathrm{\%}$、假阳性率 $5\mathrm{\%}$，用自然频数最容易算清：设想 $10000$ 人接受筛查，约 $100$ 人患病，其中约 $99$ 人呈阳性；$9900$ 名健康者中约 $495$ 人被误报。阳性者合计约 $594$ 人，真正患病的比例为

这里的 $99\mathrm{\%}$ 是灵敏度，$16.7\mathrm{\%}$ 是阳性预测值。同一组数据中，阴性者约有 $9406$ 人，其中约 $9405$ 人未患病，阴性预测值为 $9405/9406\approx 99.989\mathrm{\%}$。两种预测值都由各自组内的比例得到，也都受原人群患病率影响。

同一计算也可用赔率看得更紧凑：先验赔率为 $1:99$，阳性似然比为 $0.99/0.05=19.8$，所以后验赔率为 $19.8:99=1:5$，换回概率正是约 $16.7\mathrm{\%}$。连续纳入证据且相关条件似然比均有定义、分母为正时，先验赔率依次乘上“给定此前证据后”的条件似然比。若各次结果在给定 $D$ 和给定 $\mathrm{\neg }D$ 时分别相互独立理路独立性Statistical independence从概率表理解独立性，区分两两、相互和条件独立，并用可计算反例澄清零协方差与条件均值的限度。，即在两个条件概率空间中各自满足乘积公式，这些比值才简化成各次检测单独的似然比。

输入参数描述的是具体人群和检测条件。无症状筛查与因症状就诊的人群可以有不同先验，因而同样的检测结果对应不同后验。重复检测还涉及结果之间的关联：若第二次只是复制第一次的报告，已知第一次阳性后，第二次阳性的条件概率在两种状态下都为 $1$，新增似然比就是 $1$，后验保持不变。

这个二状态计算是Bayesian 统计模型理路Bayesian 统计模型Bayesian statistical model以参数先验和条件抽样模型共同定义参数与数据的联合分布，并由观测条件化得到后验。的有限状态实例：先验与诊断条件分布共同确定联合分布，观测结果再确定后验。

后验风险理路Bayes 估计量与后验风险Bayes estimator · Posterior expected loss给定观测后最小化后验期望损失的行动规则及其条件风险。把概率接到行动选择上。例如二状态告警模型中，设误报损失为 $C_{\mathrm{F}\mathrm{P}}>0$、漏报损失为 $C_{\mathrm{F}\mathrm{N}}>0$，正确判断损失为零。若后验概率为 $p$，报警的期望损失是 $C_{\mathrm{F}\mathrm{P}}(1-p)$，不报警的期望损失是 $C_{\mathrm{F}\mathrm{N}}p$。比较两者，严格偏好报警当且仅当 $p>C_{\mathrm{F}\mathrm{P}}/(C_{\mathrm{F}\mathrm{P}}+C_{\mathrm{F}\mathrm{N}})$；等号时两个行动的后验风险相同。阈值由损失比例决定。

同样的条件概率理路条件概率Conditional probability在已知正概率事件发生后，把交集概率重新规范到该事件内部。计算也用于垃圾邮件过滤和设备故障告警：目标类别对应 $D$，关键词或传感器信号对应检测证据。把上一轮后验作为下一轮先验，就得到序贯更新；朴素 Bayes 分类器进一步假定各特征在给定类别后相互独立理路独立性Statistical independence从概率表理解独立性，区分两两、相互和条件独立，并用可计算反例澄清零协方差与条件均值的限度。，从而将联合似然写成单个特征似然的乘积。

在固定灵敏度与特异度的模型中，改变先验会直接改变预测值，前两个条件概率则保持不变。实际换用人群、检测阈值或实施条件时，灵敏度与特异度也可能变化，因此迁移计算需要同时确定先验和条件分布。