形式陈述

设 $D$$D$ 表示目标状态，$+$$+$ 表示检测阳性。已知患病率 $P(D)$$P(D)$、灵敏度 $P(+\mid D)$$P(+\mid D)$ 和假阳性率 $P(+\mid\neg D)$$P(+\mid \mathrm{\neg }D)$，阳性后的后验概率为

$$ P(D\mid +)=\frac{P(+\mid D)P(D)}{P(+\mid D)P(D)+P(+\mid\neg D)P(\neg D)}. $$$$P(D\mid +)=\frac{P(+\mid D)P(D)}{P(+\mid D)P(D)+P(+\mid \mathrm{\neg }D)P(\mathrm{\neg }D)}.$$

直觉

检测结果不是脱离人群背景的结论。罕见状态即使配合准确检测，也可能因为大量健康个体带来的假阳性而得到不高的后验概率。

例子与边界

若患病率为 $1\%$$1\mathrm{\%}$、灵敏度为 $99\%$$99\mathrm{\%}$、假阳性率为 $5\%$$5\mathrm{\%}$，阳性后的患病概率约为 $16.7\%$$16.7\mathrm{\%}$，而不是 $99\%$$99\mathrm{\%}$。计算只在输入概率和人群选择合理时可信，不能替代临床判断。

推论与应用

同一更新结构用于医学筛查、垃圾邮件分类、故障告警和取证证据评估；重复证据还需正确处理条件依赖。

参考资料

• David J. C. MacKay, Information Theory, Inference, and Learning Algorithms, Chapter 3.
• Howard Raiffa and Robert Schlaifer, Applied Statistical Decision Theory, Chapter 1.