形式陈述

按 条件概率公理库条件概率Conditional probability在已知正概率事件 B 时用 P(A∩B)/P(B) 更新事件 A 的概率。 的定义，若 $P(B)>0$$P(B)>0$，则

$$ P(A\mid B)=\frac{P(B\mid A)P(A)}{P(B)}. $$$$P(A\mid B)=\frac{P(B\mid A)P(A)}{P(B)}.$$

若 $A_1,\ldots,A_n$$A_1,\dots ,A_n$ 构成样本空间的划分，则 $P(B)=\sum_iP(B\mid A_i)P(A_i)$$P(B)=\sum _{i}P(B\mid A_i)P(A_i)$。

直觉

先从 $A$$A$ 发生的可能性出发，再乘上 $A$$A$ 情况下看到证据 $B$$B$ 的可能性，最后除以证据总体出现率完成归一化。

例子与边界

医学检测的阳性预测值不仅取决于灵敏度，还强烈依赖疾病基准率。若忽略先验概率，就会产生基准率谬误。$P(B)=0$$P(B)=0$ 时初等条件概率公式没有定义。

推论与应用

Bayes 定理用于统计推断、垃圾邮件过滤、故障诊断、机器学习与证据更新。

参考资料

• Sheldon Ross, A First Course in Probability, 10th ed., §3.3.
• David J. C. MacKay, Information Theory, Inference, and Learning Algorithms, Chapter 3.