全概率公式

形式陈述 ​

设 $(B_i{)}_{i\in I}$ 是样本空间 $\mathrm{\Omega }$ 的有限或可数可测划分公理库集合划分Set partition把集合表示为两两不交非空块且其并为全体的块族。：各 $B_i$ 两两不交，且 $\bigcup _{i\in I}{B}_i=\mathrm{\Omega }$。若保留的每个分块都满足 $\text{Pr}(B_i)>0$，则对任意事件 $A$，

$$\text{Pr}(A)=\sum _{i\in I}\text{Pr}(A\cap B_i)=\sum _{i\in I}\text{Pr}(A\mid B_i)\text{Pr}(B_i).$$

第一步来自可列可加性，第二步来自条件概率公理库条件概率Conditional probability在已知正概率事件 B 时用 P(A∩B)/P(B) 更新事件 A 的概率。定义。概率为零的分块对第一项没有贡献，可以从求和中删去；不能用初等比值为它擅自指定 $\text{Pr}(A\mid B_i)$。当条件对象是连续随机变量时，对应形式应写成关于其分布的积分，或用条件期望表示为

$$\text{Pr}(A)=\mathbb{E}[\text{Pr}(A\mid Y)],$$

但逐点条件概率版本需要条件分布公理库条件分布Conditional distribution · Regular conditional distribution给定观测值后随机量的概率律，以及它与原联合分布相容的核表示。框架，本页不把未经说明的求和套到连续情形。

直觉 ​

先问“世界落在哪一种互斥情形”，再问“在这种情形下目标事件有多可能”。每个条件概率只在自己的分块内部度量 $A$，最后用该分块本身出现的概率加权。由于划分既不重叠又覆盖整个样本空间，所有贡献恰好拼回 $A$，不会漏算或重复。这种按隐藏来源混合的视角，也解释了为何观察到结果后可以借 Bayes 定理公理库Bayes 定理Bayes' theorem · Bayes' rule用先验概率和似然反转条件概率，得到观察证据后的后验概率。反推来源。

例子与边界 ​

某零件由机器甲、乙分别生产 $60\mathrm{\%}$ 与 $40\mathrm{\%}$，两台机器的不良率分别为 $1\mathrm{\%}$ 与 $3\mathrm{\%}$。令 $D$ 表示不良，$B_1,B_2$ 表示来源，则

$$\text{Pr}(D)=0.01\times 0.6+0.03\times 0.4=0.018.$$

这里来源事件互斥且覆盖全部零件，却不要求 $D$ 与来源独立；恰恰是不同来源下的不良率不同，分情形计算才有意义。

若只按“来自甲”和“来自乙的白班”拆分，而遗漏乙的夜班，所得事件族没有覆盖样本空间，求和会漏掉概率质量。若分块相互重叠，例如同时按“甲生产”和“白班生产”直接相加，又会重复计算交集。零概率分块则暴露另一边界：$\text{Pr}(A\cap B)/\text{Pr}(B)$ 是 $0/0$，不能把它当作普通条件概率；连续情形中的逐点条件化必须通过额外的测度论结构处理。

推论与应用 ​

全概率公式是Bayes 定理公理库Bayes 定理Bayes' theorem · Bayes' rule用先验概率和似然反转条件概率，得到观察证据后的后验概率。分母的来源：把 $\text{Pr}(A)$ 展开后，便能归一化各个 $\text{Pr}(A\mid B_i)\text{Pr}(B_i)$。把事件指示变量换成一般可积随机变量，会得到全期望公式公理库全期望公式与全方差公式Law of total expectation · Law of total variance · Iterated expectation借助条件信息分解总体均值，并把总波动拆成组内与组间两部分。；所以“先在每个信息块中计算，再按块的权重混合”不只适用于概率，也是一切条件平均的共同骨架。诊断试验、混合模型、分层抽样和随机算法按输入类型分情况分析，都在使用同一分解，但前提始终是情形构成真正的划分。

参考资料

• Dimitri P. Bertsekas and John N. Tsitsiklis, Introduction to Probability, 2nd ed., Athena Scientific, 2008，§1.4, conditioning and the total probability theorem。
• Joseph K. Blitzstein and Jessica Hwang, Introduction to Probability, 2nd ed., CRC Press, 2019，Ch. 2, law of total probability and Bayes' rule。