全概率公式

全概率公式把一个难以直接计算的总体概率改写为“分层后计算，再按层权重平均”。每个 $\mathbb{P}(A\mid B_i)$ 回答目标事件在第 $i$ 种情形中多常见，$\mathbb{P}(B_i)$ 则说明该情形在总体中占多大份额。所有权重非负且总和为一，所以最终结果是各层条件概率的加权平均，必定位于各层条件概率的下确界与上确界之间。对于有限个分层，这就是最小值与最大值之间；可数无限层未必有实际达到的最小值或最大值。

从分布角度看，这也是混合模型的基本算术：先随机选择来源 $B_i$，再从该来源的条件规律生成结果。观察结果后若要反推来源，就在这些加权贡献之间重新归一化，这一步正是Bayes 定理理路Bayes 定理Bayes' theorem · Bayes' rule用先验与证据在各假设下的可能性反转条件方向，得到归一化后验。。

一家工厂的零件由甲、乙两条生产线分别供应 $60\mathrm{\%}$ 与 $40\mathrm{\%}$，历史稳定期内两线不良率分别为 $1\mathrm{\%}$ 与 $3\mathrm{\%}$。令 $D$ 表示“不良”，$B_1,B_2$ 表示来源，则

也可以用一批 $10000$ 件零件理解每个乘积：按模型，甲线贡献 $6000\times 0.01=60$ 件不良品，乙线贡献 $4000\times 0.03=120$ 件，总计期望 $180$ 件。除以总量就得到 $180/10000=1.8\mathrm{\%}$。这里是模型下的期望数量，实际一批的件数会波动。

直接把两个不良率平均成 $2\mathrm{\%}$ 会忽略供应份额；权重必须反映一件随机到达零件来自哪条线。计算也不要求 $D$ 与来源独立；恰恰因为来源改变不良率，分层才有信息价值。

若只按“来自甲线”和“来自乙线白班”拆分，乙线夜班被遗漏，事件族没有覆盖 $\mathrm{\Omega }$，求和会漏掉概率质量。若改按“来自甲线”和“来自白班”拆分，这两个事件又可能重叠，直接相加会重复计算。修复时可以改按“甲白班、甲夜班、乙白班、乙夜班”这四种完整来源分类，再按各自权重加总。划分不是随意列出几个相关条件，而是让每件零件恰好进入一个分块。

全概率公式还提供一个有用的校验：总体不良率 $1.8\mathrm{\%}$ 必须落在两条线的 $1\mathrm{\%}$ 与 $3\mathrm{\%}$ 之间。若计算结果跑到这个区间之外，要么权重没有归一化，要么条件概率与分块没有对齐。

连续条件变量不能直接写成对单点的可数求和。若 $Y$ 有分布 ${\mu }_Y$ 且存在合适的条件概率版本，则相应形式是

逐点函数 $y\mapsto \mathbb{P}(A\mid Y=y)$ 需要条件分布理路条件分布Conditional distribution · Regular conditional distribution给定观测值后随机量的概率律，以及它与原联合分布相容的核表示。框架，并且通常只在 ${\mu }_Y$-几乎处处意义下确定。

把事件指标写成随机变量，有

于是全概率公式就是有限或可数划分上的全期望：先求每个信息块中的平均，再对信息块平均。把 ${\mathbf{1}}_A$ 换成一般可积随机变量，便得到全期望公式理路全期望公式与全方差公式Law of total expectation · Law of total variance · Iterated expectation借助条件信息分解总体均值，并把总波动拆成组内与组间两部分。；进一步考察平方偏差，则得到组内波动与组间波动的全方差分解。

在可靠性分析中可以按设备运行模式分层，在排队系统中可按请求来源分层，在统计抽样中可按人群层级分层。公式本身只负责精确汇总；分层是否合理、条件概率是否能从数据稳定估计，以及条件之间是否随时间漂移，仍属于模型与数据质量问题。

用于 Bayes 分母时，$\mathbb{P}(A)$ 是各候选原因对证据的总贡献。遗漏一个可能原因会让分母过小，并把剩余原因的后验同时抬高；因此在反向推断中，“划分覆盖所有候选”不仅是形式要求，也直接决定结论是否校准。