生存分析基础

对象 ​

事件时间 $T\ge 0$ 的生存函数

$$S(t)=P(T>t),$$

累积风险 $H(t)=-\log S(t)$。绝对连续时 hazard

$$\lambda (t)=\underset{h\downarrow 0}{lim}\frac{P(t\le T<t+h\mid T\ge t)}{h},$$

且 $S(t)=\exp [-{\int }_0^t\lambda (u)du]$。hazard 是瞬时条件率，不是时间点概率。

右删失观察 $Y=min(T,C)$ 和指示 $\mathrm{\Delta }=\mathbf{1}\{T\le C\}$。独立删失通常要求在给定协变量后 $T\perp C$；只看 $Y$ 无法区分事件与删失。

观测 likelihood 与识别条件 ​

在独立右删失下，单个观测 $(Y,\mathrm{\Delta })$ 对事件时间模型的贡献可写为

$$[f_T(Y){]}^{\mathrm{\Delta }}[S_T(Y){]}^{1-\mathrm{\Delta }}$$

乘删失分布部分。若删失与事件条件独立，关于事件模型的 likelihood 可忽略删失因子；informative censoring 时该分解不成立。

hazard 与 survival 的关系来自

$$\lambda (t)=-\frac{d}{dt}\log S(t),$$

积分后得到 $S(t)=e^{-H(t)}$。hazard 可以大于一，因为它是每单位时间条件率，不是区间概率。

Kaplan–Meier ​

在事件时刻 $t_j$，风险集中人数 $n_j$、事件数 $d_j$，乘积限估计

$$\hat{S}(t)=\prod _{t_j\le t}(1-\frac{d_j}{n_j}).$$

每个因子估计条件生存概率，连乘重建整体生存。删失只在其后减少 risk set，不在删失时刻制造生存下降。

若事件时刻依次为 $t_1,t_2$，风险集/事件数 $(5,1),(3,1)$，则第一步生存为 $4/5$，第二步再乘 $2/3$，得到 $8/15$。若两时刻之间一人删失，它从第二个 risk set 移除，但曲线在删失时不下降。

Greenwood 近似方差为

$$\widehat{\mathrm{Var}}\{\log \hat{S}(t)\}=\sum _{t_j\le t}\frac{d_j}{n_j(n_j-d_j)}.$$

常对 ${\log }^{-\log S}$ 变换构造保持在 $[0,1]$ 的区间。

例子 ​

若事件时刻风险集/事件数为 $(5,1),(3,1)$，则第二时刻后 $\hat{S}=(4/5)(2/3)=8/15$。中间若有人删失，只影响后续 $n_j$。

边界 ​

informative censoring 会偏倚 KM：病情恶化者更易失访时，独立删失不成立。竞争风险中把其他事件当普通删失会把 cause-specific 生存误作实际累计发生率。

左截断对象只有在进入研究后才可观察，risk set 必须要求已进入且尚未失败；把它当普通右删失会产生 immortal-time bias。

hazard ratio 不是生存概率比。比例风险失效时，Cox 单一系数只是加权平均效应，需查看时间交互或 restricted mean survival time。

最后事件后若只剩删失，尾部生存无法识别；中位生存可能“未达到”，不能外推为无限。ties 与左截断需相应 risk-set 规则。

KM 比较的是边缘曲线，不能自动调整混杂。观察研究中的组差需要协变量模型与因果识别条件。

应用 ​

Greenwood 公式估计 KM 方差；log-rank 比较组间 hazard；Cox 模型引入协变量。各自需要比例风险或删失条件，不能仅由 KM 定义推出。

Nelson–Aalen 累积风险估计

$$\hat{H}(t)=\sum _{t_j\le t}\frac{d_j}{n_j}$$

与 KM 满足 $-\log \hat{S}(t)\approx \hat{H}(t)$，事件比例小时接近。前者加和 hazard increments，后者乘 conditional survival；有限样本并不完全相等。

log-rank 检验在每个事件时刻比较观察与按 risk set 比例期望的组事件数，再按协方差标准化。它对 proportional hazards 型偏离较敏感；生存曲线交叉时正负差可能抵消，应预先选择 weighted log-rank 或 RMST 目标。

Kaplan–Meier 中位数定义为曲线首次不高于 $1/2$ 的时间。若研究结束时仍高于 $1/2$，结果是 not estimable，而不是把最后随访时间或无穷当估计。

competing risks 下，cause-specific hazard 可分别建模，但累计发生率

$$F_k(t)={\int }_0^{t}S(u-)d{H}_k(u)$$

同时依赖所有原因 hazard。把其他原因删失后用 $1-KM$ 会高估实际发生概率。

time-dependent covariates 必须只使用时刻 $t$ 前已知信息，避免 immortal-time bias。数据展开为 counting-process intervals 时，一个人的多行并非独立样本。

参考资料

• Edward Kaplan and Paul Meier, “Nonparametric Estimation from Incomplete Observations,” JASA 53, 1958。
• John Klein and Melvin Moeschberger, Survival Analysis, 2nd ed., Springer, 2003。
• Per Kragh Andersen et al., Statistical Models Based on Counting Processes, Springer, 1993。