生存分析基础 | Codeboy's Blog

形式陈述

在统计模型中，事件时间 $T\ge0$ 的生存函数

S(t)=P(T>t),

先考虑绝对连续的事件时间分布，在 $S(t)>0$ 的区间定义累积风险 $H(t)=-\log S(t)$ 。密度存在的几乎处处时刻，风险率 hazard 为

\lambda(t)=\lim_{h\downarrow0} \frac{P(t\le T<t+h\mid T\ge t)}h,

且 $S(t)=\exp[-\int_0^t\lambda(u)du]$ 。hazard 是瞬时条件率，不是时间点概率。

风险集条件是正概率事件的条件化：在 $P(T\ge t)>0$ 时，只有活到 $t$ 的个体才进入局部失败率。若总体在时刻 $t_j$ 有原子，风险增量应为 $P(T=t_j)/P(T\ge t_j)$ ，跨过该时刻的生存概率须乘以一减去该增量。在纯离散情形，累积这些风险增量所得的和一般不等于 $-\log S$ 。以下风险率积分公式采用连续模型，样本 KM 曲线则仍然是阶梯函数。

右删失观察 $Y=\min(T,C)$ 和指示 $\Delta=\mathbf1\{T\le C\}$ 。独立删失通常要求在给定协变量后 $T\perp C$ ；只看 $Y$ 无法区分事件与删失。

观测 Likelihood 与识别条件

在独立右删失下，单个观测 $(Y,\Delta)$ 对事件时间模型的似然贡献可写为

[f_T(Y)]^\Delta[S_T(Y)]^{1-\Delta}

乘删失分布部分。条件独立给出因子分解；要在事件参数的似然中删去删失因子，还需该因子不含事件参数，或删失参数与事件参数可以独立变化。例如 $T,C$ 虽独立但同为 Exp $(\theta)$ 时，两部分都含 $\theta$ ，删失因子不能作为常数丢掉。informative censoring 时，前面的独立分解本身便不成立。

hazard 与 survival 的关系来自

\lambda(t)=-\frac{d}{dt}\log S(t),

积分后得到 $S(t)=e^{-H(t)}$ 。hazard 可以大于一，因为它是每单位时间条件率，不是区间概率。

直觉

生存数据的核心困难不是“有些数值缺失”，而是每个时刻能被比较的人群会随事件、删失和延迟进入而改变。Kaplan–Meier 在每个事件时刻先估计仍处于风险集者的条件生存概率，再把这些条件概率沿时间相乘；删失只改变之后的风险集，不制造一次失败。

例子与边界

Kaplan–Meier 乘积极限

在事件时刻 $t_j$ ，风险集中人数 $n_j$ 、事件数 $d_j$ ，乘积限估计

\widehat S(t)=\prod_{t_j\le t}\left(1-\frac{d_j}{n_j}\right).

每个因子估计条件生存概率，连乘重建整体生存。删失只在其后减少 risk set，不在删失时刻制造生存下降。

若事件时刻依次为 $t_1,t_2$ ，风险集/事件数 $(5,1),(3,1)$ ，则第一步生存为 $4/5$ ，第二步再乘 $2/3$ ，得到 $8/15$ 。若两时刻之间一人删失，它从第二个 risk set 移除，但曲线在删失时不下降。

Greenwood 近似方差为

\widehat{\operatorname{Var}}\{\log\widehat S(t)\} =\sum_{t_j\le t}\frac{d_j}{n_j(n_j-d_j)}.

上式要求所涉及的事件时刻均有 $n_j>d_j$ ，使 $\widehat S(t)>0$ 。常对 $\log[-\log S]$ 变换构造保持在 $[0,1]$ 的区间，但该变换还要求 $\widehat S(t)<1$ ；全风险集同时失败或尚无事件时，应另行处理这些边界。

边界与失败情形

informative censoring 会偏倚 KM：病情恶化者更易失访时，独立删失不成立。竞争风险中把其他事件当普通删失会把 cause-specific 生存误作实际累计发生率。

左截断对象只有在进入研究后才可观察，risk set 必须要求已进入且尚未失败；把它当普通右删失会产生 immortal-time bias。

hazard ratio 不是生存概率比。比例风险失效时，拟合出的单一 Cox 系数是依赖模型与数据生成过程的汇总量，可能受到风险集构成和删失分布影响，不能无条件解释为某个固定加权平均效应。此时可检查时间交互，或根据问题改用限定时间平均生存等目标。

最后事件后若只剩删失，尾部生存无法识别；中位生存可能“未达到”，不能外推为无限。ties 与左截断需相应 risk-set 规则。

KM 比较的是边缘曲线，不能自动调整混杂。观察研究中的组差需要协变量模型与因果识别条件。

推论与应用

KM 及其 Greenwood 方差估计需要适当的独立删失与风险集条件。log-rank 检验比较组间生存分布是否相同，并不要求所有备择都满足比例风险；Cox 模型中固定回归系数的风险比解释则以比例风险为前提。

Nelson–Aalen 累积风险估计

\widehat H(t)=\sum_{t_j\le t}\frac{d_j}{n_j}

与 KM 满足 $-\log\widehat S(t)\approx\widehat H(t)$ ，事件比例小时接近。前者加和 hazard increments，后者乘 conditional survival；有限样本并不完全相等。

log-rank 检验在每个事件时刻比较观察与按 risk set 比例期望的组事件数，再按协方差标准化。它对 proportional hazards 型偏离较敏感；生存曲线交叉时正负差可能抵消，应预先选择 weighted log-rank 或 RMST 目标。

Kaplan–Meier 中位数定义为曲线首次不高于 $1/2$ 的时间。若研究结束时仍高于 $1/2$ ，结果是 not estimable，而不是把最后随访时间或无穷当估计。

在连续事件时间的 competing risks 模型中，cause-specific hazard 可分别建模，但累计发生率

F_k(t)=\int_0^t S(u-)\,dH_k(u)

同时依赖所有原因 hazard。把其他原因删失后用 $1-KM$ 会高估实际发生概率。

time-dependent covariates 必须只使用时刻 $t$ 前已知信息，避免 immortal-time bias。数据展开为 counting-process intervals 时，一个人的多行并非独立样本。

需要把延迟进入、删失和时间变化协变量整理成可推断的模型时，可继续读生存分析的计数过程模型。它把事件计数与风险窗口分开，并说明可预测历史和补偿量各自承担什么条件。

协变量回归可以按研究目标选择：Cox 模型在风险集条件比较中消去基线，加速失效时间模型直接比较分位时间，Aalen 加性风险模型则估计随时间改变的绝对风险增量。

竞争事件的概率记账由Aalen–Johansen 估计展开；直接对累计发生率建模时，可进一步区分Fine–Gray 亚分布风险与原因别风险。若关心共同观察窗内平均获得的生存时间，限定时间平均生存给出面积目标及可复算比较。

事件仅知落在检查区间内时，应改用Turnbull 区间删失估计的区间似然。对象还存在未观察到的风险差异时，脆弱性模型解释幸存者选择如何改变群体风险。

参考资料

Edward Kaplan and Paul Meier, “Nonparametric Estimation from Incomplete Observations,” JASA 53, 1958。
John Klein and Melvin Moeschberger, Survival Analysis, 2nd ed., Springer, 2003。
Per Kragh Andersen et al., Statistical Models Based on Counting Processes, Springer, 1993。

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