可逆链与细致平衡

平稳性只要求每个状态的总流入等于总流出，像一座水池的水位不变；细致平衡要求每一对状态之间的正反流量分别相等，因此连局部环流也不存在。后者更强，却常把一个全局线性方程组拆成容易检查的逐边等式。

从时间方向看，观察一条已经处于稳态的可逆链，录像倒放后仍遵循同一转移规律。这个对称性让转移算子在加权内积

下自伴。无限状态时，先要保证这个运算有定义。对 $f,g\in L^2(\pi )$，联合权重 $\pi (x)P(x,y)$ 的两个边缘都是 $\pi$，Cauchy–Schwarz 不等式理路Cauchy–Schwarz 不等式Cauchy–Schwarz inequality · 柯西–施瓦茨不等式内积的绝对值不超过两向量范数之积，且等号精确刻画线性相关。给出

因而双重和绝对收敛，可以用细致平衡交换 $x,y$，得到 $⟨f,Pg{⟩}_{\pi }=⟨Pf,g{⟩}_{\pi }$。逐行再用同一不等式，有 $|Pf(x){|}^2\le P|f{|}^2(x)$，积分后得到 $\Vert Pf{\Vert }_2\le \Vert f{\Vert }_2$。这些值只需在 $\pi$-几乎处处定义，零质量状态的代表值不影响算子。这样得到的是 $L^2(\pi )$ 上的有界自伴算子，不能据此断言存在可数特征向量基。

在有限无向加权图上，假定每个顶点的总权重 $w_x>0$，令边权满足 $w_{xy}=w_{yx}\ge 0$，并取

则 $\pi (x)P(x,y)=w_{xy}/\sum _z{w}_z$，显然对换 $x,y$ 不变。普通无向图随机游走的度数平稳分布正是这一例子。三点路径 $1-2-3$ 的度数为 $(1,2,1)$，故 $\pi =(1/4,1/2,1/4)$。边 $1\leftrightarrow 2$ 的双向流均为 $1/4$。但这条链在两个二分部之间交替，周期为 $2$；可逆并不保证逐时刻收敛。对于无限图，还必须要求 $\sum _z{w}_z<\mathrm{\infty }$ 才能把这些权重归一化为概率。

平稳不必可逆。三状态定向环按同一方向确定移动，均匀分布平稳，但某条正向边有正流量而反向边流量为零，细致平衡失败。可逆性也总是相对于指定的 $\pi$；当 $\pi (x)=0$ 时，不能随意用 $\pi (y)P(y,x)/\pi (x)$ 定义反向概率。不可约有限链的平稳分布处处为正，才避开这个除零问题。

细致平衡是构造 MCMC 的常用设计准则：先指定目标分布，再让提议与接受规则逐边配平。它是充分条件而非必要条件，非可逆链同样可以拥有所需平稳分布，甚至可能混合更快。

在混合时间理路混合时间Mixing time · Markov chain mixing timeMarkov 链从最坏初态接近平稳分布到指定总变差精度所需的步数。分析中，可逆性把转移算子变成加权 $L^2(\pi )$ 上的自伴算子，谱隙、Dirichlet 形式与 conductance 因而获得清晰关系。定义层面仍应先区分平稳性、不可约性与可逆性，再按证明需要选择这些额外结构。

生灭过程理路生灭过程Birth-death process把只发生相邻增减的连续时间链化为逐边平衡，并单独检查稳态级数是否可归一化。每个相邻状态切口只有一条通道，稳态流量守恒因此化为逐边平衡和乘积权重。多个队列互相路由时，Jackson 网络理路Jackson 排队网络Jackson network在开放指数排队网络中先解流量方程，再以乘积形稳态连接各节点负载。的乘积形来自整个网络的平衡结构，不能据此假定节点轨迹相互独立。