可逆链与细致平衡

形式陈述 ​

设可数状态 Markov 链的转移矩阵为 $P$，$\pi$ 是状态空间上的概率分布。若对所有状态 $x,y$ 都有

$$\pi (x)P(x,y)=\pi (y)P(y,x),$$

则称 $P$ 关于 $\pi$ 满足细致平衡，或称链关于 $\pi$ 可逆。对 $y$ 求和可得

$$\sum _x\pi (x)P(x,y)=\sum _x\pi (y)P(y,x)=\pi (y),$$

所以细致平衡必然推出 $\pi P=\pi$，即 $\pi$ 是平稳分布公理库平稳分布Stationary distribution经马尔可夫转移后保持不变的状态分布。。

若从平稳初态 $X_0\sim \pi$ 启动链，则任意有限路径的概率满足

$$\pi (x_0)P(x_0,x_1)\cdots P(x_{n-1},x_n)=\pi (x_n)P(x_n,x_{n-1})\cdots P(x_1,x_0).$$

因此 $(X_0,\dots ,X_n)$ 与反向序列 $(X_n,\dots ,X_0)$ 同分布。这才是“可逆”的概率含义，而不是每一步转移都可由确定函数逆转。

直觉 ​

平稳性只要求每个状态的总流入等于总流出，像一座水池的水位不变；细致平衡要求每一对状态之间的正反流量分别相等，因此连局部环流也不存在。后者更强，却常把一个全局线性方程组拆成容易检查的逐边等式。

从时间方向看，观察一条已经处于稳态的可逆链，录像倒放后仍遵循同一转移规律。这个对称性让转移算子在以 $\pi$ 加权的内积下自伴，从而可以使用实谱与正交展开分析收敛。

例子与边界 ​

在无向加权图上，令边权满足 $w_{xy}=w_{yx}\ge 0$，并取

$$P(x,y)=\frac{w_{xy}}{w_x},\pi (x)=\frac{w_x}{\sum _z{w}_z},w_x=\sum _y{w}_{xy}.$$

则 $\pi (x)P(x,y)=w_{xy}/\sum _z{w}_z$，显然对换 $x,y$ 不变。普通无向图随机游走的度数平稳分布正是这一例子。

平稳不必可逆。三状态定向环按同一方向确定移动，均匀分布平稳，但某条正向边有正流量而反向边流量为零，细致平衡失败。可逆性也总是相对于指定的 $\pi$；当 $\pi (x)=0$ 时，不能随意用 $\pi (y)P(y,x)/\pi (x)$ 定义反向概率。不可约有限链的平稳分布处处为正，才避开这个除零问题。

推论与应用 ​

细致平衡是构造 MCMC 的常用设计准则：先指定目标分布，再让提议与接受规则逐边配平。它是充分条件而非必要条件，非可逆链同样可以拥有所需平稳分布，甚至可能混合更快。

在混合时间公理库混合时间Mixing time · Markov chain mixing timeMarkov 链从最坏初态接近平稳分布到指定总变差精度所需的步数。分析中，可逆性把转移算子变成加权 $L^2(\pi )$ 上的自伴算子，谱隙、Dirichlet 形式与 conductance 因而获得清晰关系。定义层面仍应先区分平稳性、不可约性与可逆性，再按证明需要选择这些额外结构。

参考资料

• David A. Levin, Yuval Peres, and Elizabeth L. Wilmer, Markov Chains and Mixing Times, 2nd ed., American Mathematical Society, 2017，§1.6, reversibility and time reversal。
• J. R. Norris, Markov Chains, Cambridge University Press, 1997，§1.7, reversibility。