Metropolis–Hastings 算法

提议核负责给出移动方向，Hastings 比率像双向收费表：若从 $x$ 到 $y$ 被提议得太频繁，就降低这条方向的通过率，直到稳态下每对状态的净流量配平。拒绝不是浪费性的附属动作，而是补足留在 $x$ 的概率，使整行转移概率仍为一并维持平衡。

对称随机游走满足 $q(y\mid x)=q(x\mid y)$，接受率才简化为 $1\wedge \gamma (y)/\gamma (x)$。把这个简式用于独立提议、边界截断提议或有漂移的提议，会遗漏正反生成概率差异，目标分布随之改变。

取两点目标 $\pi (0)=0.2,\pi (1)=0.8$。提议核为

其余概率留在原状态。由 $0$ 提议 $1$ 的接受率是

若均匀数为 $0.70$，本轮接受并到达 $1$。反向提议的接受率为 $1$；若下一轮确实提议 $0$ 且均匀数为 $0.30$，便返回 $0$。稳态流量可逐项复算：$0.2\times 0.9\times (8/9)=0.16$，恰等于 $0.8\times 0.2\times 1$。若错误地忽略提议比，两个方向都接受，所得平稳概率由提议核决定而非 $(0.2,0.8)$。

支持结构可以让正确公式产生无用链。三状态上若提议只沿 $a\to b\to c\to a$ 顺时针移动，则每条候选的反向提议概率为零，MH 接受率全为零，链永久停在初值。目标不变仍然成立，却完全不遍历。连续空间中，步长过小给出高接受率但强自相关；步长过大则大多拒绝。不存在脱离目标尺度的通用“最佳接受率”，渐近随机游走结果也不能当作有限维硬阈值。

多峰目标还有更隐蔽的失败：峰内局部提议的接受率和轨迹图都可能正常，跨峰概率却小到在预算内从未发生。加长 burn-in 不会改变提议跨越能垒的机制；需要重参数化、独立/混合提议、温度桥接或其他能实际连通模态的构造。

MH 的价值在于把“会提出候选”转成“保持指定目标的核”。独立提议适合已有全局近似，随机游走适合局部尺度均匀的目标，带梯度提议可沿高概率方向移动；每种选择仍必须保留完整 Hastings 修正并重新验证支持。

诊断应沿因果链展开：先检查对数目标与正反提议比的实现，再检查可达性和接受位置，最后按函数估计自相关误差。只报告总体接受率会把“在一个模态内移动顺畅”与“正确探索后验”混为一谈。若目标密度有离散与连续混合部分，必须用能支配相应联合测度的核，而不能把普通 Lebesgue 密度比硬套在原子质量上。