状态空间时间序列模型

状态是对预测未来而言足够的动态摘要。过去的全部影响先压入 ${\alpha }_t$，观测再以噪声方式读取它；于是长程观测依赖通过低维 Markov 状态传递。状态可以是不可直接观测的水平、趋势、季节分量或物理位置，而不必与 $Y_t$ 同维、同单位，也不必具有单独可解释性。

同一观测过程常有多种状态表示，增加不可观测坐标可保持似然不变。因此状态维数和参数需要可观测性、可控性或统计识别检查；“把所有历史塞进状态”虽形式上可行，却失去压缩和稳定计算的价值。状态空间是模型表示，不是某个滤波算法；过滤、预测和平滑是在该模型上求不同条件分布。

标量局部水平模型取

其中 ${\alpha }_0\sim N(10,4)$、$\mathrm{Var}({\eta }_t)=1$、$\mathrm{Var}({\epsilon }_t)=4$。因此先验下 $\mathrm{Var}({\alpha }_1)=5$、$\mathrm{Var}({\alpha }_2)=6$，而

共同的隐藏水平使观测相关，观测噪声只增加各自主对角方差。看到 $Y_1=12$ 后，状态的高斯更新会在先验均值 $10$ 与观测 $12$ 之间加权；具体增益和后验方差由Kalman 滤波器公理库Kalman 滤波器Kalman filter · 卡尔曼滤波器在线性高斯状态空间模型中递推计算状态预测与过滤分布均值、协方差及似然的算法。计算。

过程方差 $Q=0$ 时，状态按已知递推演化，所有不确定性来自初值和测量；观测方差 $H=0$ 时，若 $Z$ 可逆则状态被无噪声读出。两者都为零可能导致奇异预测协方差，普通密度公式失效。短序列中较大的 $Q$ 与较大的 $H$ 可能产生相似粗糙度，却含义相反；模型错设或弱识别不能靠滤波递推本身修复。

过滤求 $p({\alpha }_t\mid y_{1:t})$，一步预测求 $p({\alpha }_{t+1}\mid y_{1:t})$，平滑则利用未来观测求 $p({\alpha }_t\mid y_{1:n})$。线性高斯情形由 Kalman 滤波与平滑精确递推，并可累积预测误差密度计算似然。非线性或非高斯模型可用扩展/无迹近似、网格或粒子方法，但这些算法引入各自近似条件，不改变原模型的条件独立结构。

ARMA、结构时间序列、动态回归和缺失观测可放进统一状态表示；这种表示等价需给出具体最小性、初始化与噪声假设，因此本文不在 metadata 中笼统声明 state-space 与 ARMA 等价。初始化尤其关键：稳定状态可用平稳协方差，随机游走水平需弥散或显式先验。错误地用固定小方差初始化，会让早期滤波过度自信并扭曲似然。