Kalman 滤波器 | Codeboy's Blog

形式陈述

对线性高斯状态空间时间序列模型，设上一步过滤分布为 $\alpha_{t-1}\mid y_{1:t-1}\sim N(m_{t-1},C_{t-1})$ 。预测步骤为

a_t=T_tm_{t-1}+c_t, \qquad P_t=T_tC_{t-1}T_t^{\mathsf T}+R_tQ_tR_t^{\mathsf T}.

观测到 $y_t$ 后，创新、创新协方差与 Kalman 增益为

v_t=y_t-d_t-Z_ta_t, \quad F_t=Z_tP_tZ_t^{\mathsf T}+H_t, \quad K_t=P_tZ_t^{\mathsf T}F_t^{-1}.

若 $F_t$ 可逆，更新为

m_t=a_t+K_tv_t, \qquad C_t=P_t-K_tF_tK_t^{\mathsf T}.

在高斯假设下，这些量精确给出 $p(\alpha_t\mid y_{1:t})$ ；每期 $v_t\sim N(0,F_t)$ 的预测密度可相加为 log likelihood。仅有二阶矩和线性模型时，同一递推仍给最佳线性均方估计，但一般不等于完整条件期望，也不产生精确高斯后验。

直觉

预测先让上一期不确定性随动力学传播，并加上新过程噪声；更新再比较实际观测与预测观测的差 $v_t$ 。 $K_t$ 按状态预测不确定性相对于测量噪声的大小分配信任：状态很不确定、测量精确时增益大，反之增益小。更新后的协方差不依赖本次观测数值，只依赖模型矩阵和先前协方差。

这不是简单固定权重平滑。增益每期可随缺失数据、时变噪声和累计信息改变，矩阵情形还会把一个观测沿状态坐标间的协方差传播。过滤只用现在及过去；使用未来观测改善历史状态叫平滑。把滤波输出称作平滑估计会混淆可用信息集和不确定性。

例子与边界

沿用局部水平模型： $m_0=10,C_0=4$ ，过程方差 $Q=1$ ，观测方差 $H=4$ ，且 $T=Z=R=1$ 。第一期预测

a_1=10,\qquad P_1=4+1=5.

观测 $y_1=12$ 后， $v_1=2,F_1=9,K_1=5/9$ ，故

m_1=10+\frac59\cdot2=\frac{100}{9}\approx11.1111, \qquad C_1=5-\frac{25}{9}=\frac{20}{9}\approx2.2222.

第二期观测 $y_2=11$ 。先预测 $a_2=100/9,P_2=20/9+1=29/9$ ；再得 $v_2=-1/9,F_2=65/9,K_2=29/65$ ，于是

m_2=\frac{719}{65}\approx11.0615, \qquad C_2=(1-\tfrac{29}{65})\tfrac{29}{9} =\frac{116}{65}\approx1.7846.

两个更新都可用标量高斯精度加权复算；后验方差下降，但下一次预测会再加过程方差。

若初始 $C_0$ 错设得极小，前几期增益会过小，滤波器顽固追随错误初值；弥散状态不能随意用零方差初始化。 $F_t$ 奇异意味着某些观测组合在模型下无随机误差，需消除冗余或用奇异滤波处理，不能盲目求逆。非线性、重尾或离群观测下，标准递推可能过度自信；扩展 Kalman 只是一阶近似，不因名字相近而继承精确性。

推论与应用

Kalman 滤波把每期计算限制在固定维度的矩阵运算，使很长序列的过滤和高斯似然保持线性时间复杂度。缺失整期观测时可跳过更新、保留预测；部分缺失时删去对应观测行和协方差块。结合 Rauch–Tung–Striebel 向后递推可得到平滑分布，预测误差似然还可置于数值优化或 EM 的外层来估参数；参数估计是利用滤波输出的另一层任务，并非过滤递推本身。

数值实现应避免显式矩阵逆，改用 Cholesky 求解；协方差更新可用 Joseph 形式

C_t=(I-K_tZ_t)P_t(I-K_tZ_t)^{\mathsf T}+K_tH_tK_t^{\mathsf T}

或平方根滤波保持对称正半定。理论递推正确不代表模型正确：持续偏置的创新、标准化创新重尾或相关、估计参数漂移都提示错设。应联合报告创新诊断、初始化、噪声协方差和数值稳定策略。

参考资料

James Durbin and Siem Jan Koopman, Time Series Analysis by State Space Methods, 2nd ed., Oxford University Press, 2012，Chs. 4–5，Kalman filtering, prediction-error decomposition, and initialization。
Robert H. Shumway and David S. Stoffer, Time Series Analysis and Its Applications, 4th ed., Springer, 2017，§6.2，Kalman filtering and likelihood。
Brian D. O. Anderson and John B. Moore, Optimal Filtering, Prentice-Hall, 1979，Ch. 3，discrete-time Kalman filter and covariance recursions。

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