白噪声过程

“白”借自光谱：所有频率上功率相同，因为除零滞后外协方差全为零。它表示线性二阶意义下没有可从过去提取的方向性信号，而不是每个样本都细小、频繁或服从钟形分布。方差 ${\sigma }^2$ 决定噪声能量，分布决定尖峰、偏度与尾部；仅凭 ACF 平坦不能判断后两者。

在时间序列模型中，白噪声通常充当每期新到达的冲击。AR、MA 与状态空间模型把这些冲击通过确定性线性结构传播，产生可预测相关。若残差仍有显著自相关，说明线性均值结构尚未吸收；若残差本身无相关但平方残差有相关，则可能是条件方差动态，而非均值模型已经完整正确。

独立 Rademacher 变量 $P({\epsilon }_t=1)=P({\epsilon }_t=-1)=1/2$ 构成 $\mathrm{WN}(0,1)$，但不是高斯白噪声。更能显示边界的是令 $Z_t$ 独立标准正态并设

则 $\mathbb{E}{\epsilon }_t=0$、$\mathbb{E}{\epsilon }_t^2=1$。当 $h=1$ 时，

更大滞后同样因某个独立零均值因子而为零，所以它是白噪声。然而

而两个边缘二阶矩乘积为 $1$，故相邻项并不独立。这组数值也说明“ACF 全零”会漏掉平方中的依赖。不过此例对 $\sigma (Z_s:s\le t-1)$ 仍是鞅差，因为新因子 $Z_t$ 独立且均值为零；它反驳独立性，尚未反驳条件均值不可预测性。

要看到后一层差别，令独立标准正态 $U_k$ 生成成对序列 ${\eta }_{2k}=U_k$、${\eta }_{2k+1}=(U_k^2-1)/\sqrt{2}$。每项均值为零、方差为一；同对的协方差由 $E(U_k^3-U_k)=0$ 得到，不同对独立，所以它也是白噪声。但已知 ${\eta }_{2k}$ 后，下一项完全可算，条件均值就是 $({\eta }_{2k}^2-1)/\sqrt{2}$。没有线性可预测性与没有任何可预测性，确实是不同命题。

若 ${\epsilon }_t=U$ 对所有 $t$ 共用同一零均值变量，边缘看似同分布、方差恒定，但非零滞后协方差等于 $\mathrm{Var}(U)$，不是白噪声。若样本 ACF 恰好接近零，也不能证明总体白噪声；有限样本检验有第二类错误，检查许多滞后还涉及多重比较。重尾序列若方差不存在，则即使独立，也不属于本文二阶白噪声定义。

白噪声是移动平均过程公理库移动平均过程Moving-average process · MA process当前值由有限个当期与过去白噪声驱动项线性组合构成的时间序列模型。与自回归过程公理库自回归过程Autoregressive process · AR process当前值由有限个过去值的线性组合与当期白噪声创新构成的时间序列模型。的输入，也是ARMA 过程公理库ARMA 过程ARMA process · Autoregressive moving-average process由有限阶自回归反馈与移动平均冲击组成的线性时序模型，平稳性、因果性和可逆性须分别检验。的线性冲击。对纯非确定弱平稳过程，Wold 分解定理公理库Wold 分解定理Wold decomposition theorem · Wold representation theorem将弱平稳过程唯一拆为由创新驱动的单边线性部分与可由无限过去预测的确定部分。给出一列与过去正交的创新白噪声；在 Wold 系数归一化为首项 $1$ 后，这列创新由过程的闭线性过去唯一确定，而随意外加的一列不相关噪声未必是其创新。

残差诊断应同时检查时序相关、分布与方差稳定性。端口检验未拒绝白噪声零假设只表示在选定滞后与样本量下缺乏线性相关证据，不证明独立或模型正确。预测中，Wold 创新的最佳线性预测为零，其无条件方差是一步线性预测误差方差。若进一步是相对于全部当前信息的条件均值创新，则平方损失下的最佳预测也为零；但条件方差可以随过去变化，不能仅凭白噪声把每个时点的条件误差方差都定为 ${\sigma }^2$。