白噪声过程 | Codeboy's Blog

形式陈述

白噪声 $(\varepsilon_t)_{t\in\mathbb Z}$ 是满足

\mathbb E\varepsilon_t=0, \qquad \operatorname{Var}(\varepsilon_t)=\sigma^2<\infty, \qquad \operatorname{Cov}(\varepsilon_t,\varepsilon_s)=0\quad(t\ne s)

的随机过程，记作 $\operatorname{WN}(0,\sigma^2)$ 。因此其自协方差为 $\gamma(h)=\sigma^2\mathbf1_{\{h=0\}}$ ，它是弱平稳过程的严格特例。定义只要求跨期不相关，不自动要求独立、同分布或正态。若额外有任意有限组联合正态，则不相关推出独立，称高斯白噪声；若直接假设独立同分布、零均值且方差有限，也得到白噪声，但这是更强的创新序列条件。

有些教材把非零常均值也称白噪声，写成 $\varepsilon_t-\mu$ 为零均值白噪声；本文采用零均值规范。相对于信息滤过 $\mathcal F_{t-1}$ ，创新或鞅差还要求 $\mathbb E(\varepsilon_t\mid\mathcal F_{t-1})=0$ 。该条件推出与过去平方可积变量正交，比单纯两两不相关更适合预测，但白噪声定义本身并不保证它。

直觉

“白”借自光谱：所有频率上功率相同，因为除零滞后外协方差全为零。它表示线性二阶意义下没有可从过去提取的方向性信号，而不是每个样本都细小、频繁或服从钟形分布。方差 $\sigma^2$ 决定噪声能量，分布决定尖峰、偏度与尾部；仅凭 ACF 平坦不能判断后两者。

在时间序列模型中，白噪声通常充当每期新到达的冲击。AR、MA 与状态空间模型把这些冲击通过确定性线性结构传播，产生可预测相关。若残差仍有显著自相关，说明线性均值结构尚未吸收；若残差本身无相关但平方残差有相关，则可能是条件方差动态，而非均值模型已经完整正确。

例子与边界

独立 Rademacher 变量 $P(\varepsilon_t=1)=P(\varepsilon_t=-1)=1/2$ 构成 $\operatorname{WN}(0,1)$ ，但不是高斯白噪声。更能显示边界的是令 $Z_t$ 独立标准正态并设

\varepsilon_t=Z_tZ_{t-1}.

则 $\mathbb E\varepsilon_t=0$ 、 $\mathbb E\varepsilon_t^2=1$ 。当 $h=1$ 时，

\mathbb E(\varepsilon_t\varepsilon_{t-1}) =\mathbb E(Z_tZ_{t-1}^2Z_{t-2})=0,

更大滞后同样因某个独立零均值因子而为零，所以它是白噪声。然而

\mathbb E(\varepsilon_t^2\varepsilon_{t-1}^2) =\mathbb EZ_t^2\,\mathbb EZ_{t-1}^4\,\mathbb EZ_{t-2}^2=3,

而两个边缘二阶矩乘积为 $1$ ，故相邻项并不独立。这组数值也说明“ACF 全零”会漏掉平方中的依赖。

若 $\varepsilon_t=U$ 对所有 $t$ 共用同一零均值变量，边缘看似同分布、方差恒定，但非零滞后协方差等于 $\operatorname{Var}(U)$ ，不是白噪声。若样本 ACF 恰好接近零，也不能证明总体白噪声；有限样本检验有第二类错误，检查许多滞后还涉及多重比较。重尾序列若方差不存在，则即使独立，也不属于本文二阶白噪声定义。

推论与应用

白噪声是移动平均过程与自回归过程的输入，也是ARMA 过程的线性冲击。对纯非确定弱平稳过程，Wold 分解定理给出一列与过去正交的创新白噪声；在 Wold 系数归一化为首项 $1$ 后，这列创新由过程的闭线性过去唯一确定，而随意外加的一列不相关噪声未必是其创新。

残差诊断应同时检查时序相关、分布与方差稳定性。端口检验未拒绝白噪声零假设只表示在选定滞后与样本量下缺乏线性相关证据，不证明独立或模型正确。预测中，若 $\varepsilon_{t+1}$ 真是相对于当前信息的创新，则最佳线性预测为零，预测误差方差至少包含 $\sigma^2$ ；这是不可通过拟合过去消除的新信息，而不是算法精度不足。

参考资料

Peter J. Brockwell and Richard A. Davis, Introduction to Time Series and Forecasting, 3rd ed., Springer, 2016，Example 1.4.2 and §2.2，white noise and stationary linear processes。
James D. Hamilton, Time Series Analysis, Princeton University Press, 1994，§3.2，white noise innovations in stationary ARMA models。
Robert H. Shumway and David S. Stoffer, Time Series Analysis and Its Applications, 4th ed., Springer, 2017，§1.4 and Ch. 3，white noise and residual diagnostics。

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