ARIMA 模型

ARIMA 先用差分移除永久积累的随机趋势，再让 ARMA 描述剩余短期动力。积分不是连续微积分中的积分，而是“差分的逆”：从 $\mathrm{\Delta }{X}_t$ 恢复水平要累加，并需要初始值。当 $d=1$ 时，单个冲击对差分的效应可以逐渐衰减，但对水平的效应是这些响应的累加；在本文已约简的规范表示下，其长期值为 $\theta (1)/\varphi (1)\ne 0$。因此每次未来冲击的水平效应不会衰减到零；更高积分阶还会使该效应随时间增长，因此即使差分方差稳定，水平预测区间仍随预测期限扩张。

$d$ 不是越大越稳妥。少差一次会把单位根留给 AR 部分，造成根贴近一和伪持久性；多差一次会人为引入负的一阶相关与单位圆上的 MA 根，使模型不可逆、预测噪声增大。应根据机制、单位根证据、差分后图形和预测表现共同选择最小充分的差分阶数。

取 ARIMA(1,1,0)

给定 $X_0=10$、$\mathrm{\Delta }{X}_0=2$，并取实际创新 $({\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3)=(1,-0.5,0.2)$，逐步得到

以及

若差分过程从平稳分布初始化，其无条件方差为 $1/(1-{0.6}^2)=1.5625$；上面的数值轨迹则是给定初始差分后的条件演算，不能把该平稳方差当作条件初值的方差。水平不断累积差分，没有固定方差。

从时点 $0$ 作最佳线性预测，未来创新置零，便有 ${\widehat{\mathrm{\Delta }X}}_{h|0}=2(0.6{)}^h$，所以

一步水平预测为 $11.2$，二步为 $11.92$。二步误差为 $1.6{\epsilon }_1+{\epsilon }_2$，方差为 $3.56$，而非简单把两次差分误差方差相加；两次差分共享第一期冲击。噪声独立或为适当鞅差时，这些线性预测也等于条件均值。

可以继续追踪任意期限的误差。第 $j$ 期创新对第 $h$ 期水平的系数为 $1+0.6+\cdots +{0.6}^{h-j}=(1-{0.6}^{h-j+1})/0.4$，故

$h=2$ 时重新得到 $1^2+{1.6}^2=3.56$；远期每个新项趋近 ${2.5}^2=6.25$，所以方差渐近按 $6.25h$ 增长。预测均值趋于 13 并不表示未来水平会收敛到常数 13：均值走势与预测不确定性是两件事。

过度差分也可精算：若原 $X_t$ 本来就是方差 ${\sigma }^2$ 的白噪声，$Y_t=\mathrm{\Delta }{X}_t=X_t-X_{t-1}$ 满足 ${\gamma }_Y(0)=2{\sigma }^2$、${\gamma }_Y(1)=-{\sigma }^2$、更大滞后为零，所以 ${\rho }_Y(1)=-1/2$。其 MA 多项式 $1-B$ 有单位圆根 $1$，不可逆。有限样本里单位根与 $0.99$ 近单位根难分，检验不拒绝不能证明必须差分，拒绝也不保证趋势或结构突变已正确处理。

ARIMA 把长期非平稳性和短期可预测性分层：差分阶数控制冲击是否永久，ARMA 参数控制差分后的衰减与短期形状。预测时先预测未来差分，再按已知最后水平累加；误差协方差也必须累加，不能只返回差分尺度区间。直接差分会损失前 $d$ 个差分观测，随后 ARMA 的条件似然还可能依赖额外的起始观测与残差约定；精确似然或状态空间实现则需明确初始化。

单位根过程公理库单位根过程Unit-root process · Unit root process · Difference-stationary process自回归多项式含单位圆根、冲击对水平具有永久影响而经适当差分可平稳的过程。给 $d>0$ 的概率机制，ADF 检验公理库增广 Dickey–Fuller 检验Augmented Dickey–Fuller test · ADF test在差分回归中加入滞后差分项并以非标准临界值检验自回归单位根的统计方法。可针对特定自回归单位根零假设提供证据，但不能自动决定所有差分与季节项。结构突变、确定性趋势和方差变化都可能伪装成积分。完成建模后应检查差分序列和最终残差、根位置、滚动预测，并把任何数据驱动的差分选择计入不确定性说明。