Wold 分解定理

把截至 $t-1$ 的所有观测当作一个线性信息空间，先做最佳线性一步预测。无法被这个空间解释的残差就是本期真正新增的线性信息；不同期创新彼此正交。反复把过去值也拆成“预测加创新”，就得到当前值对历次新信息的冲击响应。无限久以前仍能精确携带的部分，则被留在 $V_t$ 中。

定理说明线性创新表示非常普遍，却不是说所有平稳序列“本质上都是某个有限 ARMA”。${\psi }_j$ 可无限多、衰减很慢，创新可非独立，确定部分也可能非零。Wold 是二阶投影定理；若关心非线性条件期望、尾部依赖或完整条件分布，需要更强结构。

取可逆 MA(1)

由可逆级数

可知 $\frac{1}{2}{\epsilon }_{t-1}$ 属于 ${\mathcal{H}}_{t-1}$，而 ${\epsilon }_t$ 与过去正交。因此一步预测为 ${\hat{X}}_{t|t-1}=\frac{1}{2}{\epsilon }_{t-1}$，预测误差恰为 ${\epsilon }_t$、方差为 $4$；Wold 系数是 $(1,1/2,0,\dots )$。

同一协方差 $\gamma (0)=5,\gamma (1)=2$ 也可写成不可逆形式 $X_t=u_t+2u_{t-1}$、$\mathrm{Var}(u_t)=1$。这里的 $u_t$ 不能由观测过去作为一步创新恢复；Wold 规范选择前一组方差 $4$、系数 $1/2$ 的可逆表示。这具体区分了“方程里写的白噪声”和“由过程过去定义的创新”。

若 $A,B$ 零均值、方差同为 $s^2<\mathrm{\infty }$ 且互不相关，并令 $X_t=A\cos \left(\lambda t\right)+B\sin \left(\lambda t\right)$，则 $\gamma (h)=s^2\cos \left(\lambda h\right)$，所以过程弱平稳。当 $\sin \lambda \ne 0$ 时，任意两个相邻值就能线性确定 $A,B$ 及整条序列。其一步创新方差为零，全部落入 $V_t$；强行要求正方差白噪声 MA 表示会失败。若谱中既有离散线又有连续部分，则确定项和创新项可同时存在。

Wold 表示为线性预测提供统一基础：$h$ 步预测保留那些在 $t+h$ 时仍由已知创新贡献的项，未来创新之和给预测误差。ARMA 的因果 MA($\mathrm{\infty }$) 展开只是这一普遍表示的参数化特例；ARMA 还施加有理传递函数和更强衰减结构，因此可用有限参数估计。

在经验分析中，残差若要解释成创新，至少应接近与完整已用过去正交，而不只是与一两个滞后不相关。可逆性保证模型冲击与 Wold 创新对齐；非可逆参数化虽可复制同一二阶分布，却赋予冲击错误的时间方向。定理也不保证从有限样本稳定估计无限组 ${\psi }_j$，截断阶数仍需依据预测误差和正则性选择。