Wold 分解定理

把截至 $t-1$ 的所有观测当作一个线性信息空间，先做最佳线性一步预测。无法被这个空间解释的残差就是本期真正新增的线性信息；不同期创新彼此正交。反复把过去值也拆成“预测加创新”，就得到当前值对历次新信息的冲击响应。无限久以前仍能精确携带的部分，则被留在 $V_t$ 中。

构造的关键是把互相正交的创新当作预测信息的坐标。当 ${\sigma }_{\epsilon }^2>0$ 时，第 $j$ 个系数由投影给出 ${\psi }_j=E(X_t{\epsilon }_{t-j})/{\sigma }_{\epsilon }^2$。平稳性使它只依赖滞后 $j$；从 $X_t$ 中扣除所有这些投影后，剩下的就是远古信息部分。这两项极限可以由嵌套投影具体完成。因为

逐步正交分解给出，对每个 $m\ge 1$，

互相正交使 ${\sigma }_{\epsilon }^2\sum _{j<m}{\psi }_j^2\le E{X}_t^2$，所以创新级数在均方意义下收敛。另一方面，记 $P_m=P_{{\mathcal{H}}_{t-m}}$，当 $m\ge l$ 时，嵌套子空间给出

右侧来自一个递减非负数列，故 $P_m{X}_t$ 是 Cauchy 列。其极限属于每个闭空间 ${\mathcal{H}}_{t-l}$，也就属于交集；且 $X_t$ 减去该极限仍与交集正交。因此极限恰为 $V_t=P_{{\mathcal{H}}_{-\mathrm{\infty }}}{X}_t$。平稳性使移位保持内积，并与这些投影相容，从而 $V_t$ 弱平稳、系数只依赖滞后。若创新方差为零，则所有相邻过去空间已经相同，直接得到 $X_t=V_t$。

定理说明线性创新表示非常普遍，却不是说所有平稳序列“本质上都是某个有限 ARMA”。${\psi }_j$ 可无限多、衰减很慢，创新可非独立，确定部分也可能非零。Wold 是二阶投影定理；若关心非线性条件期望、尾部依赖或完整条件分布，需要更强结构。

取可逆 MA(1)

由可逆级数

可知 $\frac{1}{2}{\epsilon }_{t-1}$ 属于 ${\mathcal{H}}_{t-1}$，而 ${\epsilon }_t$ 与过去正交。因此一步预测为 ${\hat{X}}_{t|t-1}=\frac{1}{2}{\epsilon }_{t-1}$，预测误差恰为 ${\epsilon }_t$、方差为 $4$；Wold 系数是 $(1,1/2,0,\dots )$。

同一协方差 $\gamma (0)=5,\gamma (1)=2$ 也可写成不可逆形式 $X_t=u_t+2u_{t-1}$、$\mathrm{Var}(u_t)=1$。这里的 $u_t$ 不能由观测过去作为一步创新恢复；Wold 规范选择前一组方差 $4$、系数 $1/2$ 的可逆表示。这具体区分了“方程里写的白噪声”和“由过程过去定义的创新”。

若 $A,B$ 零均值、方差同为 $s^2<\mathrm{\infty }$ 且互不相关，并令 $X_t=A\cos \left(\lambda t\right)+B\sin \left(\lambda t\right)$，则 $\gamma (h)=s^2\cos \left(\lambda h\right)$，所以过程弱平稳。当 $\sin \lambda \ne 0$ 时，任意两个相邻值就能线性确定 $A,B$ 及整条序列。其一步创新方差为零，全部落入 $V_t$；强行要求正方差白噪声 MA 表示会失败。把这一随机正弦与独立白噪声相加，就同时具有确定项和创新项；例如谱中的离散谱线与正的常数谱密度分别对应这两部分。一般情形不能仅凭“连续谱”三个字断定纯非确定性，还需相应的谱密度条件。

Wold 表示为线性预测提供统一基础。在时点 $t$ 预测 $X_{t+h}$，保留确定项和 $j\ge h$ 的已知创新项；误差为 $\sum _{j=0}^{h-1}{\psi }_j{\epsilon }_{t+h-j}$，方差为 ${\sigma }_{\epsilon }^2\sum _{j=0}^{h-1}{\psi }_j^2$。因此上面的 MA(1) 一步预测误差方差是 $4$，两步及更远均为 $4(1+1/4)=5$：两步之后已经没有能由当前过去解释的随机部分。因果且可逆 ARMA 的 MA($\mathrm{\infty }$) 展开是这一创新表示的参数化特例；ARMA 还施加有理传递函数和更强衰减结构，因此可用有限参数估计。

在经验分析中，残差若要解释成创新，至少应接近与完整已用过去正交，而不只是与一两个滞后不相关。可逆性保证模型冲击与 Wold 创新对齐；非可逆参数化虽可复制同一二阶分布，却赋予冲击错误的时间方向。定理也不保证从有限样本稳定估计无限组 ${\psi }_j$，截断阶数仍需依据预测误差和正则性选择。